محاسبه ابعاد فراکتال ها

در عمل ، ما ابعاد فراکتال یا پیچیدگی را از اقدامات فرض شده با تغییر جزئیات با تغییر مقیاس استنباط می کنیم.

پیچیدگی ، شما می گویید؟

هر نوع تجزیه و تحلیل فراکتال انجام می شود ، همیشه بر روی نوعی از بعد فراکتال قرار می گیرد. انواع مختلفی از ابعاد فراکتال یا D وجود دارد_F، اما همه می توانند در یک گروه متراکم شوند - آنها یک متر پیچیدگی هستند. کلمه "پیچیدگی" بخشی از زندگی روزمره ما است ، اما تحلیلگران فراکتال آن را برای اهداف خود در تجزیه و تحلیل فراکتال ربوده اند. شما این مفهوم را که قبلاً به طور شهودی می دانید - می دانید - آن را با بزرگنمایی می بینید و هنگام بحث در مورد وضوح تصویر ، آن را تعمق می کنید. در تجزیه و تحلیل فراکتال ، پیچیدگی یک تغییر در جزئیات با تغییر در مقیاس است.

قوانین مقیاس گذاری در قلب تجزیه و تحلیل فراکتال قرار دارند.

A D_Fدر اصل ، یک قانون مقیاس پذیر است که چگونه جزئیات یک الگوی را با مقیاس در نظر گرفته می کند - این همان چیزی است که ما از پیچیدگی منظور ماست.

به طور کلی ، ما قانون مقیاس بندی یا بعد فراکتال را استنباط می کنیم ، D_F، از دانستن چگونگی مقیاس. به طور رسمی ، این ایده در مورد رابطه بین N ، تعداد قطعات و ε ، مقیاس استفاده شده برای بدست آوردن قطعات جدید است. ما این را می گوییم: n∝ ε-d_F

در این مرحله ، شما ممکن است فکر کنید ، "n؟ من نیازی به بد بو ندارم". ممکن است با اطمینان فراوان بدانید که هر وقت بزرگنمایی را که در آن چیزی مشاهده می کردید تغییر می دهید ، تعداد قطعات همیشه یکسان می ماند و فقط اندازه تغییر می کند. اما این را از خود بپرسید - آیا جزئیات تغییر کرده است؟جزئیات این است که منظور ما وقتی تعداد قطعات را می گوییم منظور ماست.

مقیاس بندی

برای درک اینکه چگونه همه اینها در محاسبات برای مقیاس بندی قوانین و ابعاد فراکتال در کنار هم قرار می گیرند ، بیایید به چیزهایی متفاوت از زندگی روزمره نگاه کنیم که معمولاً از ما می خواهد. ابتدا چیزی را که می دانید در نظر بگیرید ، الگویی مانند شکل های اقلیدسی آشنا هندسه ابتدایی. یک شکل که مقیاس گذاری برای آن آسان است ، یک خط ساده است. یک خط ، هنگامی که توسط ، به عنوان نمونه ، 1/3 ، از 3 قطعه ساخته می شود ، هر 1/3 طول اصلی است. هیچ چیز کیهانی برای آن نیست. من حتی یک نمودار نمی کشم زیرا مطمئناً فقط شما را تحمل می کند. اما جالب است بدانید که در رابطه مقیاس گذاری به ما استفاده می کند و می توانیم بفهمیم که D_F= 1. 00 در این شرایط فقط با جایگزینی در معادله ، زیرا 3 = (1/3) -1. شاید شما قبلاً این ایده را گسترش داده اید و فهمیدید که همه اینها نیز می گویند ، که هنگام مقیاس یک مربع پر از 1/2 ، همیشه 4 قطعه جدید وجود خواهد داشت ، هر 1/4 منطقه اصلی و Dبرابر با 2 خواهد بود (به عنوان مثال ، 4 = (1/2) -2).

این ممکن است بی اهمیت به نظر برسد - این که بعد (یا پیچیدگی) یک خط 1 و از یک مربع پر شده 2 باشد - اما بخش کاملاً غیر مهم این است که این نوع مقیاس بندی ، مقیاس بندی که ما می شناسیم و دوست داریم ، لزوماً تنها نوع آن نیستبه عنوان مثال ، خط فراکتال Koch در سمت چپ نشان داده شده است ، به عنوان مثال ، به 4 قطعه جدید در هر 1/3 طول اصلی می رسد.

می بینید که چگونه در انیمیشن شکل می گیرد. در اصل ، آنچه اتفاق می افتد این است که قطعه شروع به طول 1/3 طول می کشد ، سپس آن قطعه چهار بار گذاشته می شود تا یک قسمت جدید را تهیه کند که طول اصلی باشد اما قطعات بیشتری دارد. این برای همیشه ادامه می یابد و نتیجه نامتناهی ، افسوس ، ما صرفاً فانی ها نمی توانیم ببینیم ، اما با این وجود الگوی فراکتال کوچ است. این نکته قطعاً غیر مهم در اینجاست که بر خلاف خط و مربع که در بالا در نظر گرفته می شود ، قانون مقیاس گذاری ، D ، D_F، برای این الگوی ، حتی اگر ما بتوانیم آن را بی نهایت درک کنیم ، چندان واضح نیس ت-اعداد 4 = (1/3) -d هستند_Fو این نمی توانیم با تعویض ساده در قانون مقیاس بندی حل کنیم.

گزارش ها و محدودیت ها

بعد فراکتال چگونه محاسبه می شود؟

برای الگوی Koch ، شما باید دستگاه کمک ریاضی خود را انتخاب کرده و D را محاسبه کنید_Fبشرمن یک D را محاسبه می کنم_Fبرای هر موردی مانند این با حل معادله کلی برای قانون مقیاس گذاری: n = a ε-d f برای متغیر آن ، d_F، با استفاده از سیاههها ، که نشان می دهد D_Fنسبت ورود تعداد قسمتهای جدید N ، به ورود به سیستم ، ε: D است_F= log n/log ε.

من A را در آنجا به همراه N و ε گیر کردم ، مگر نه؟بعداً صحبت خواهیم کرد

شما می توانید آن را انجام دهید

اکنون که تمام این قانون مقیاس بندی و موارد ورود به سیستم را پایین آورده اید ، می توانید برخی از ابعاد فراکتال را محاسبه کنید.

• برای هر مقیاس مانند خط ساده که در بالا ذکر شد ، تعداد قطعات جدید برابر با مقیا س-1 و D است_F= log x/log x = 1. 00.
• با این حال ، برای فراکتال Koch که قبلاً نشان داده شده است ، D_F= log 4/log 3 = 1. 26.
• برای Fractal Quadric 32 قسمتی که مطمئناً از صفحه قبلی به یاد می آورید ، الگوی را به 32 قطعه جدید در هر 1/8 اندازه قبلی می رساند. بنابراین ، D_F= log 32/log 8 = 1. 67.

گاهی اوقات به دوستان خود کمی کمک نیاز دارید

"تعداد قطعات" که در مثالهای فوق به آنها اشاره شده است ، معادل جزئیات در یک الگوی است ، و برای مثالهایی که تاکنون آورده شده است ، ما فقط برای شمارش و اندازه گیری نسبتاً ساده یا حداقل قابل ردیابی به همان اندازه طولانی نیاز داشتیمویژگی های شما در حال حاضر-چیزی-در مورد-در مورد آنها برای یافتن رابطه بین مقیاس و جزئیات. اما محاسبه یک D همیشه آسان نیست_Fبه این ترتیب زیرا رابطه بین مقیاس و جزئیات همیشه به راحتی قابل مشاهده نیست. به عنوان مثال ، چقدر می توانید از شمارش و اندازه گیری برای یافتن 32 قسمت جدید برای هر 1/8 در یک فراکتال کوادریک لذت ببرید؟از مهربانی و احترام به تحمل ما از خسته کننده ، بنابراین ، دوستان ما ، تحلیلگران فراکتال ، روش هایی را برای ارزیابی D تهیه کرده اند_Fغیرمستقیمآنها راه هایی را برای ما ایجاد کرده اند که ارزش پیچیدگی را از نسبت تغییر جزئیات با مقیاس تغییر (به عنوان مثال ، بزرگنمایی یا وضوح در میکروسکوپ) استنباط کرده و با برخی از اندازه گیری ها تقریب داده شده و یک عدد را اختصاص داده ایم که به اندازه کافی نزدیک به بعد فراکتال آن است و این است. معمولاً نوع جدیدی از D_Fبشردر Fraclac ، این ابعاد شمارش جعبه یا D است_Bبشرمعادله اصلی برای یافتن یک بعد فراکتال از مقیاس و جزئیات تقریبی داده ها تقریباً همان چیزی است که ما قبلاً از قانون مقیاس گذاری می دانیم: D_F= lim ε → 0 [log n_ε ⁄_{ورود به سیستم ε}] جایی که ما حد را به عنوان شیب خط رگرسیون برای داده ها می یابیم. در واقع این یک تکنیک بسیار مفید و دشوار است. فقط آنچه ما برای N و ε استفاده می کنیم و دقیقاً چگونه این تکنیک مفید برای ما در جعبه شمارش با Fraclac در بخش بعدی توضیح داده شده است.

نکته دیگری که باید به آن اشاره کنیم این است که فراکتال های مورد بحث در اینجا نیز به عنوان مونوفراکتال ها نامیده می شوند ، تا با چیز دیگری که می توانید با Fraclac تجزیه و تحلیل کنید ، در تضاد باشد و بعداً می توانید در مورد آن بخوانید ، به نام Multifractals.