شکل نوسانات

مدل معروف سیاه اسکولز یک مدل ریاضی است که برای قیمت گذاری مشتقات مالی استفاده می شود. این امر به ویژه مفید است زیرا یک فرمول صریح برای ارزش یک گزینه اروپایی از نظر زمان برای انقضاء قرارداد t ، نرخ بهره بدون ریسک r ، قیمت اعتصاب گزینه k ، قیمت زیرین در زمان t = ارائه می دهد. 0 ثانیه₀و نوسانات زیربنایی σ. به عنوان مثال می توانیم مقدار گزینه تماس C را به عنوان C = BS بنویسیم (S₀، k ، σ ، t ، r). این مدل مبتنی بر چندین فرض است ، مانند بازار بدون اصطکاک و عدم وجود فرصت های داوری ، اما در اینجا ما بر روی دو مورد از آنها تمرکز خواهیم کرد: این که تکامل زمان قیمت زیرین از یک حرکت هندسی براونین پیروی می کند و نوسانات این حرکتثابت است

از نظر عملی ، اولین بیانیه به این معنی است که در زمان t = 0 قیمت زیرین است₀، در زمان t = t لگاریتم مقدار آن Ln (s_T) یک متغیر تصادفی است که از توزیع عادی با میانگین پیروی می کند

جایی که μ بازده مورد انتظار در زیرین است. این خاصیت S_Tlog-normality نامیده می شود.

برای یک قرارداد در یک سیستم اقتصادی₀، K ، T و R شناخته شده است اما σ مشخص نمی شود ، زیرا با نوسانات تاریخی متفاوت است ، این همان چیزی است که در گذشته تحقق یافته است. با این حال ، ما می توانیم نوسانات σ را استنباط کنیم_ضمنیکه لازم است به گونه ای که مقدار پیش بینی شده توسط مدل BS با قیمت بازار یک گزینه معامله شده با CMKT با همان پارامترها مطابقت داشته باشد.

این نوسانات نوسانات ضمنی یا IV نامیده می شود ، همانطور که در قیمت بازار گزینه دلالت دارد.

اگرچه ما فرض کردیم که نوسانات ثابت است ، اگر IV را برای قیمت های مختلف اعتصاب و زمان ورزش متفاوت اندازه گیری کنیم ، اما می یابیم که آنها چیزی جز ثابت هستند. به طور خاص ، دو الگوی مشترک پدیدار می شوند: لبخند و پوست.

لبخند نوسانات نمونه ای از گزینه هایی است که زیربنای آن ارز خارجی است. همانطور که در شکل 1. a نشان داده شده است ، IV برای گزینه های تماس با پول (دستگاه خودپرداز ، برای جادوگران S_0≈K) is lower than the IV for the out-of-the-money and in-the-money call options (OTM and ITM, respectively when K>S₀و K0).

از طرف دیگر ، نوسانات مربوط به گزینه های موجود در سهام یا شاخص های سهام است. همانطور که در شکل 1. b ، IV با افزایش قیمت اعتصاب کاهش می یابد ، به این معنی که نوسانات مورد استفاده برای قیمت گذاری یک تماس ITM بالاتر از آنچه برای قیمت گذاری یک تماس OTM در همان زیرین است ، بالاتر است. این الگوی قبل از سقوط بازار سهام در اکتبر 1987 کمتر برجسته شده بود. این واقعیت حاکی از آن است که یکی از دلایل منشأ Skew می تواند ترس از بحران مالی باشد ، زیرا OTM گزینه (برای آن S)₀>k) محافظت ارزان در برابر سهام است و تقاضای زیاد آنها باعث می شود آنها بیش از حد گران شوند.

توضیح دیگر فرض دیگری را که در ابتدا انجام دادیم ، در نظر می گیرد: طبیعی بودن. تغییر در نوسانات نشان دهنده این واقعیت است که توزیع چگالی احتمال F از LN (S_T) طبیعی نیست. در اینجا چند نمونه آورده شده است.

نمودار اول (شکل 2) سه لبخند IV فرضی را نشان می دهد. همانطور که منحنی IV تمایل به پیروی از حرکت S دارد₀(اگر S به سمت راست تغییر کند₀افزایش و برعکس) ، با توجه به LN (K/F) ترسیم شده است₀) ، جایی که f₀=S₀e rt در محور x. برای هر لبخندی که محاسبه شده است ، انحنای آن میانگین معکوس شعاع منحنی در طول هر منحنی است. با استفاده از همان پارامترهای s₀، R ، T ما می توانیم قیمت گزینه تماس را از نظر K محاسبه کنیم (شکل 3).

مرحله زیر به دست آوردن عملکرد چگالی احتمال از قیمت گزینه است. ما می توانیم به روش زیر اندازه گیری احتمال بی طرف خطر را بدست آوریم.

اول از همه ، اندازه گیری احتمال بی طرف خطر f_{ریسک خنثی}معادل شرط عدم وجود Arbitrage است و اندازه گیری احتمال در دنیای بی طرف ریسک است (معمولاً سرمایه گذاران از ریسک خودداری می کنند). می توان نشان داد که ارزش یک دارایی ارزش فعلی بازپرداخت مورد انتظار آن تحت اندازه گیری احتمال خنثی ریسک است. در واقع ، برای گزینه تماس:

بعد از دو برابر ارزش گزینه با توجه به قیمت اعتصاب ، می توانیم به راحتی F را بدست آوریم_{ریسک خنثی}.

اگر s_Tبر اساس F ، یک توزیع lognormal را دنبال کرد_{ریسک خنثی}، log (s_T) به صورت توزیع می شود

در شکل 4 ، برای هر یک از لبخندهای مختلف IV مختلف ترسیم شده است. همانطور که می بینیم ، با افزایش انحنای منحنی IV ، کورتوز f_{ریسک خنثی}همچنین افزایش می یابد. Kurtosis توصیف کننده شکل عملکرد چگالی است. توزیع با کورتوز بالاتر احتمال بیشتری در مقادیر مرکزی و در افراطی تر دارد. این ویژگی ، معروف به دم چربی ، به این معنی است که این وقایع شدید به احتمال زیاد اتفاق می افتد و به دلیل اینکه ضررهای بزرگی را شامل می شوند ، آنها نشانه افزایش خطر هستند. در شکل 5 می توانیم رابطه مستقیم بین Kurtosis توزیع احتمال و انحنای لبخند Parabolic IV مانند مواردی که قبلاً توضیح داده شد ، مشاهده کنیم.

اکنون ما IV را در نظر می گیریم. این روش مانند گذشته است: ما یک منحنی IV را به دنبال الگوی یک چاشنی (شکل 6) با سه منحنی مختلف فرض می کنیم ، که از آن قیمت گزینه تماس را بدست می آوریم (شکل 7). مشتق دوم عملکرد چگالی احتمال بی طرفانه را به ما می دهد (شکل 8). مانند گذشته ، کورتوز با انحنای IV افزایش می یابد. یکی از ویژگی های جالب کاهش پوستی است. کمبود اندازه گیری عدم تقارن توزیع است. کمبود منفی به این معنی است که دم در سمت چپ توزیع طولانی تر یا ضمنی است ، به این معنی که نتایج پایین تر از موارد بالاتر بیشتر است. از آنجا که دم چپ ضرر و زیان را در مقدار دارایی نشان می دهد ، انحنای IV Skew سیگنال افزایش خطر است. در حقیقت ، کاهش در S& P 500 با افزایش شدید منحنی IV دنبال می شود.

در قسمت آخر ، ما روش استفاده شده را برای به دست آوردن اندازه خنثی ریسک از داده های بازار استفاده خواهیم کرد. ما گزینه های تماس را در فهرست S& P 500 با قیمت های مختلف اعتصاب و سررسید در نظر می گیریم. بیایید با گزینه خاتمه یافته در شانزدهم ژوئن 2017 شروع کنیم. اول از همه ، نباید قراردادهای غیرقانونی ITM و OTM را در نظر بگیریم. سپس از میانگین بین پیشنهاد و قیمت درخواست برای به دست آوردن IV از نظر LN استفاده می کنیم (K/F₀) (جایی که f₀=S₀e rt) و از مقادیر موجود در آن استفاده کنید (شکل 9. A). هدف از اسپلین ، صاف کردن منحنی و درون یابی مقادیر بیشتر برای اعتصاب بین یک معامله شده است. هر دو مقدار (IV ، K) بنابراین به دست آمده برای محاسبه قیمت گزینه تماس نسبی با استفاده از مدل BS استفاده می شود (شکل 9. B).

نمودار در شکل 9. c به دست می آید. توزیع به وضوح غیر عادی است: توس ط-0. 05487991 منفی است. از آنجا که ما از قرارداد غیرقانونی ITM و OTM اجتناب کردیم ، این نمودار دو دم را از دست می دهد. ما می توانیم دم را با استفاده از برون یابی چند جمله ای در هر دو طرف گسترش دهیم (شکل 10). خط سبز یک توزیع عادی با همان میانگین و واریانس یک مورد به دست آمده از منحنی IV است. این ساده است که تفاوت بین توزیع به دست آمده (با شکوفایی = -0. 7330008 و Kurtosis = 3. 2817684) و یک حالت طبیعی (با skewness = 0 و Kurtosis = 3) را درک کنیم.

با مقایسه بلوغ های مختلف ، می توانیم بسته به قیمت اعتصاب و بلوغ ، نمودار از نوسانات ضمنی را ترسیم کنیم. نمودارهای زیر (شکل 11 و شکل 12) داده های مربوط به قراردادهای منتهی به دسامبر ، ژانویه ، مارس و ژوئن را نشان می دهد. به طور خاص ، ما می توانیم توجه کنیم که از آنجا که انحنای سطح برای سررسید طولانی تر کاهش می یابد ، کورتوز چگالی احتمال نیز کاهش می یابد (قله مرکزی توزیع پایین تر و گسترده تر از چپ به راست در نمودار است).