همبستگی بین تغییر حجم و تغییر قیمت

مشارکتهای نویسنده: B. P. ، D. H. ، A. M. P. ، و H. E. S. تحقیقات طراحی شده ، تحقیق را انجام داده ، داده ها را تجزیه و تحلیل کرده و مقاله را نوشت.

در سال 2009 19 سپتامبر دریافت کرد

خلاصه

در امور مالی ، معمولاً نه با قیمت ها بلکه با نرخ رشد R ، به عنوان تفاوت در لگاریتم بین دو قیمت متوالی تعریف می شود. در اینجا ما حجم معاملات را در نظر می گیریم ، بلکه نرخ رشد حجم R ̃ ، تفاوت در لگاریتم بین دو مقدار متوالی حجم معاملات است. برای این منظور ، ما از چندین روش برای تجزیه و تحلیل خواص تغییرات حجم استفاده می کنیم |R ̃ | ، و رابطه آنها با تغییرات قیمت |r |ما 14. 981 ضبط روزانه از شاخص استاندارد و فقیر (S& P) 500 را در طی دوره 59 ساله 1950-2009 تجزیه و تحلیل می کنیم و همبستگی متقابل قانون را بین |r |و |R ̃ |با استفاده از تجزیه و تحلیل همبستگی متقابل (DCCA). ما یک فرآیند تصادفی مشترک را معرفی می کنیم که این همبستگی های متقابل را مدل می کند. با انگیزه رابطه بین |r |و |R ̃ | ، ما از عملکرد چگالی احتمال P (| r ̃ |) ∼ |) تخمین می زنیم. R ̃ |−1− α ̃ برای هر دو شاخص S& P 500 و همچنین جمع آوری 1819 ترکیبات شاخص کامپوزیت بورس نیویورک در 17 ژوئیه 2009. به عنوان یک روش جدید برای برآورد α ̃ ، ما فواصل زمانی τ را محاسبه می کنیم_سعدی between events where R ̃>س. ما نشان می دهیم که τ_سعدی، میانگین τ_سعدی، پیروی از τ_سعدی∼ Q α. ما α ̃ ≈ 3. را می یابیم ، علاوه بر این ، با جمع کردن همه τ_سعدیارزش های 28 شاخص مالی جهانی ، ما همچنین یک قانون مکعب معکوس تقریبی را رعایت می کنیم.

کلمات کلیدی: اکونوفیزیک ، امور مالی ، نوسانات

جمله ای در وال استریت وجود دارد که "برای جابجایی قیمت سهام ، حجم لازم است."تعدادی از مطالعات رابطه بین تغییرات قیمت و حجم معاملات در بازارهای مالی را مورد تجزیه و تحلیل قرار داده اند (1-14). برخی از این مطالعات (1 ، 3-6) بین تغییر قیمت و حجم معاملات رابطه مثبت پیدا کرده اند. به منظور توضیح این رابطه ، کلارک فرض کرد که تغییر قیمت روزانه مجموع تعداد تصادفی از تغییرات قیمت داخل رحمی غیر مرتبط است (3) ، بنابراین پیش بینی می شود که واریانس تغییر قیمت روزانه متناسب با میانگین تعداد معاملات روزانه است. اگر تعداد معاملات متناسب با حجم معاملات باشد ، حجم معاملات متناسب با واریانس تغییر قیمت روزانه است.

عملکرد توزیع تجمعی (CDF) تغییر قیمت لگاریتمی مطلق |r |از قانون قدرت پیروی می کند

اعتقاد بر این است که (15-18) α ≈ 3 ("قانون مکعب معکوس")، خارج از محدوده α<2 characterizing a Lévy distribution (18, 19). A parallel analysis of Q , the volume traded, yields a power law (20 28)

طبق دانش ما، تغییر حجم لگاریتمی - R ̃ و رابطه آن با تغییر لگاریتمی قیمت R - تحلیل نشده است، و این تحلیل تمرکز ما در اینجا است.

داده ها تجزیه و تحلیل شد

ما شاخص استاندارد و پورز (S & P) 500 را که روزانه در دوره 59 ساله ژانویه 1950 تا ژوئیه 2009 ثبت شده است (14981 کل امتیاز داده) تجزیه و تحلیل می کنیم.

ما همچنین 1819 عضو مرکب بورس اوراق بهادار نیویورک (NYSE) را که این شاخص را در 17 جولای 2009 تشکیل می دهند، در فواصل زمانی یک روزه (6794830 امتیاز کل داده) تجزیه و تحلیل می کنیم. هر دو مجموعه داده از http://finance. yahoo. com گرفته شده اند. شرکت های مختلف که شاخص ترکیبی NYSE را تشکیل می دهند دارای سری های زمانی با طول های متفاوت هستند. میانگین طول سری زمانی 3735 نقطه داده، کوتاه ترین سری زمانی 10 نقطه داده و طولانی ترین آن 11966 نقطه داده است. اگر داده ها مستقل از مقیاس را نشان دهند، قانون مقیاس بندی یکسان باید برای دوره های زمانی مختلف برقرار باشد.

(i) یازده شاخص اروپایی (ATX، BEL20، CAC 40، DAX، AEX General، OSE All Share، MIBTel، مادرید جنرال، استکهلم جنرال، بازار سوئیس، FTSE 100)،

(ii) دوازده شاخص آسیایی (همه معمولی، کامپوزیت شانگهای، هانگ سنگ، BSE 30، کامپوزیت جاکارتا، کامپوزیت KLSE، Nikkei 225، NZSE 50، Straits Times، Seoul Composite، Taiwan Weighted، TA-100) و

(iii) پنج شاخص آمریکا و آمریکای لاتین (MerVal، Bovespa، S & P TSX Composite، IPC، S & P 500 Index).

برای هر یک از 1819 شرکت و 28 شاخص، ما در بازه زمانی یک روز تغییر لگاریتمی قیمت S (t) را محاسبه می کنیم.

و همچنین تغییر لگاریتمی در حجم معاملات Q (t) (29)،

برای هر یک از 3694 سری زمانی، مقادیر مطلق | را نیز محاسبه می کنیمآر_تی|و |R ̃_تی|و به ترتیب "نوسانات قیمت" (30) و "نوسانات حجمی" را تعریف کنید.

مواد و روش ها

اخیراً، چندین مقاله فواصل بازگشت τ بین نوسانات متوالی قیمت بالاتر از آستانه نوسان q را مطالعه کرده اند. تابع چگالی احتمال (pdf) فواصل بازگشت P_سعدی(τ) مقیاس با میانگین فاصله بازگشت τ به عنوان (31-33)

جایی که f (x) یک نمایی کشیده است. مقیاس مشابه در مقیاس زمانی داخل رحمی برای q = 0 (34) یافت شد. در این مقاله ، ما یا (i) شاخص های جداگانه یا (ب) داده های جمع شده را تقلید می کنیم که به طور کلی از بازار تقلید می کند. در مورد I ، به عنوان مثال ، شاخص S& P 500 برای هر Q ، تمام مقادیر τ را بین نوسانات شاخص متوالی محاسبه می کنیم و میانگین بازده بازده τ را محاسبه می کنیم. در مورد II ، ما با تجزیه و تحلیل 500 عضو شاخص S& P 500 ، متوسط رفتار بازار را تخمین می زنیم. برای هر Q و هر شرکت ، همه τ را محاسبه می کنیم_سعدیارزش ها و میانگین آنها.

برای هر مقدار مشخص Q به منظور بهبود آمار ، ما تمام مقادیر τ را در یک مجموعه داده جمع می کنیم و τ را محاسبه می کنیم. اگر PDF از نوسانات بزرگ به صورت نامتعارف قانون توزیع شود ، P (| x |) ∼ |X |−1 - α ، و P (| x ̃ |) ∼ |X ̃ |−1− α ̃ ، ما یک تخمین را پیشنهاد می کنیم که میانگین فواصل بازده τ را نشان می دهد_سعدیبا α ، جایی که τ_سعدیبرای هر دو مورد I و Case II محاسبه می شود. زیرا به طور متوسط یک نوسانات بالاتر از آستانه q برای هر τ وجود دارد_سعدیپس از آن

برای هر دو مورد I و Case II ، ما τ را محاسبه می کنیم_سعدیبرای تغییر Q ، و تخمین برای α از طریق رابطه بدست آورید

We compare our estimate for α in the above procedure with the α value obtained from P (| R |>س) ، با استفاده از یک روش جایگزین هیل (35). اگر PDF از قانون قدرت P (x) ∼ AX-(1+α) پیروی کند ، ما با مرتب سازی بازده های عادی شده با اندازه آنها ، نماینده قانون قانون α را تخمین می زنیم.₁>ایکس₂> …>ایکس_حرف، با نتیجه (35)

جایی که n - 1 تعداد نقاط داده دم است. ما از این معیار استفاده می کنیم که N از 10 ٪ از اندازه نمونه تجاوز نمی کند که تا حدی تضمین می کند که نمونه به قسمت دم PDF محدود شده است (36).

یک روش جدید مبتنی بر کوواریانس محروم ، تجزیه و تحلیل همبستگی متقابل (DCCA) ، اخیراً پیشنهاد شده است (37). برای تعیین همبستگی متقابل قدرت قانون در سری های زمانی غیر ایستگاه ، دو سری زمانی متقابل با همبستگی دوربرد Y را در نظر بگیرید_من>و y_من>از طول مساوی N ، و دو سیگنال یکپارچه y را محاسبه کنید_k ≡ ∑_{من = 1}k و y_k ≡ ∑_{من = 1}k y_من، جایی که k = 1 ،… ، n. ما کل سری زمانی را به جعبه های همپوشانی n - n تقسیم می کنیم که هر یک حاوی مقادیر N + 1 است. برای هر دو سری زمانی ، در هر جعبه ای که از من شروع می شود و در I + N به پایان می رسد ، "روند محلی" را تعریف کنید که مرتبه یک مربعات حداقل خطی باشد. ما "پیاده روی دفع شده" را به عنوان تفاوت بین پیاده روی اصلی و روند محلی تعریف می کنیم.

بعد ، کواریانس باقیمانده ها را در هر جعبه f dcca 2 (n ، i) ≡ 1 n - 1 ∑ k = i i + n (y k - y 'k ، i) محاسبه کنید (y k - y' k ، i)بشرکواریانس محاسبه شده را با جمع بندی همه جعبه های N - n با اندازه n ، محاسبه کنید.

اگر همبستگی های متقابل به عنوان یک قانون قدرت پوسیده شود ، کواریانس های متناقض مربوطه یا همیشه مثبت یا همیشه منفی هستند و ریشه مربع کواریانس دفع شده با پنجره زمان N به عنوان رشد می کند

جایی که λ_DCCAنماینده همبستگی متقابل است. با این حال ، اگر کواریانس محروم در حدود صفر به عنوان تابعی از مقیاس زمانی N نوسان کند ، هیچ همبستگی متقابل دوربرد وجود ندارد.

هنگامی که فقط یک پیاده روی تصادفی مورد تجزیه و تحلیل قرار می گیرد (y_k= y_k) ، کواریانس دفع شده_DCCA2 (n) به واریانس دفع شده کاهش می یابد

مورد استفاده در روش تجزیه و تحلیل نوسان (DFA) (38).

نتایج تجزیه و تحلیل

ما ابتدا مقادیر بسته شدن روزانه شاخص S& P 500 را که برای تقسیم سهام به همراه حجم معاملات آنها تنظیم شده است ، بررسی می کنیم. در شکل 1 A ، ما عملکرد همبستگی متقابل بین |حرف_تی|و |R ̃_تی|و عملکرد همبستگی متقابل بین r_تیو R_تیبشرخطوط جامد 95 ٪ فاصله اطمینان برای همبستگی های یک فرآیند تصادفی مستقل و یکسان توزیع شده (i. i. d.) است. عملکرد همبستگی متقابل بین R_تیو R_تیعملاً ناچیز است و در فاصله اطمینان 95 ٪ باقی می ماند. در مقابل ، عملکرد همبستگی متقابل بین |حرف_تی|و |R ̃_تی|برای بیش از 50 تاخیر در زمان 5 ٪ در سطح 5 ٪ متفاوت است.

همبستگی ها و همبستگی های متقابل در مقادیر مطلق تغییرات قیمت |حرف_تی|از Eq3 و تغییرات حجم تجارت |r_تی|از Eq4 برای بازده روزانه شاخص S& P 500.(الف) عملکرد همبستگی متقابل C (R ، R ̃) بین R و |r ̃ | ، و عملکرد همبستگی متقابل c (| r | ، | r ̃ | بین | r | و | r ̃ |. (b) برای r (t) و r ̃ (t) ، ما RMS را نشان می دهیماز واریانس محروم f_DFA(N) برای |r |و |R ̃ |و همچنین RMS از کواریانس دفع شده (37) ، f_DCCA(N). دو نماینده DFA λ_{|r |}و λ_{|R ̃ |}دلالت می کند که همبستگی های قانون قانون در هر دو | وجود دارد |r |و |R ̃ |. نماینده DCCA دلالت بر وجود همبستگی های متقابل قانون دارد. همبستگی های متقابل قانون بین |r |و |R ̃ |دلالت دارد که تغییرات قیمت فعلی به تغییرات قبلی بستگی دارد بلکه به تغییرات حجم قبلی و برعکس نیز بستگی دارد.

در شکل 1 B با استفاده از روش DFA (38 ، 39) ، نه تنها |حرف_تی|(30 ، 40) ، اما همچنین |r_تی|همبستگی های قدرت قانون. به عنوان نشانگر این که ارتباط بین |حرف_تی|و |R ̃_تی| ، ما توجه می کنیم که در هنگام تصادفات بازار تغییرات زیادی در قیمت با تغییرات زیادی در حجم بازار همراه است. برای تأیید ارتباط بین |حرف_تی|و |R ̃_تی| ، در شکل 1 b ما نشان می دهیم که |حرف_تی|و |R ̃_تی|قدرت قانون همبستگی با همبستگی متقابل DCCA (بخش روشها) نزدیک به نماینده DFA (38 ، 39) مربوط به |حرف_تی|. بنابراین ، ما همبستگی های متقابل بین |حرف_{t + n}|و |R ̃_تی|نه تنها در مقیاس زمان صفر (0 نفر) بلکه برای طیف گسترده ای از مقیاس های زمانی.

با تجزیه و تحلیل همبستگی های متقابل بین تغییرات مربوطه (مطلق) در قیمت ها و حجم ، اکنون PDF از ارزش مطلق R ̃ را بررسی می کنیم_تیاز Eq4به منظور آزمایش اینکه آیا فرم عملکردی نمایی یا قدرت قانون بهتر با داده ها متناسب با داده ها است. 2 A و B ما PDF P (R ̃) را در هر دو طرح خط ی-log و lo g-log نشان می دهیم. در شکل 2 a می بینیم که دم به طور قابل توجهی از قسمت مرکزی PDF منحرف می شود که ما با عملکرد نمایی متناسب هستیم. در شکل 2 B ، ما می یابیم که دم PDF را می توان به خوبی توسط یک قانون قدرت r ̃ 1+ α ̃ با نمایندگی α ̃ = 3 ± 0. 16 توصیف کرد ، که از یک قانون مکعب معکوس پشتیبانی می کند - در واقع همان چیزی که برای آن یافت می شودمیانگین بازده قیمت سهام (1516-17) و شرکتهای انفرادی (18).

PDF P (| r ̃ |) از مقدار مطلق تفاوت در لگاریتم حجم معاملات ، r ̃ ، از Eq. 4 برای شاخص S& P 500.(الف) یک نقشه خط lo g-linear p (| r ̃ |). خط جامد یک تناسب نمایی است. قسمت دم PDF از تناسب در قسمت مرکزی منحرف می شود.(ب) طرح ورود به سیستم PDF. قسمت دم گسترده را می توان با قانون قدرت R ̃ 1+ α ̃ با α ̃ = 0. 16 3 3 توضیح داد.(ج) برای مقادیر مطلق تغییرات در حجم معاملات (به معادله 4 مراجعه کنید) ، میانگین بازده بازده τ در مقابل آستانه Q (در واحدهای انحراف استاندارد σ) از یک قانون قدرت پیروی می کند ، با ضریب α α ̃ = 0. 02 ± 2. 97. قانون قدرت با قانون مکعب معکوس PDF سازگار است.

به منظور توجیه یافته قبلی ، ما از دو روش اضافی استفاده می کنیم. اول ، ما یک روش (شرح داده شده در روش های معادله 8 و 9) را برای یک شاخص مالی واحد معرفی می کنیم. ما این احتمال را تجزیه و تحلیل می کنیم که تغییر حجم معاملات R ̃ دارای یک مقدار مطلق بزرگتر از یک آستانه معین باشد ، q. ما سری زمانی شاخص S& P 500 را برای 14922 نقطه داده تجزیه و تحلیل می کنیم. ابتدا آستانه های مختلف را تعریف می کنیم ، از 2 σ تا 8 σ. برای هر Q ، میانگین فاصله بازگشت ، τ را محاسبه می کنیم. در شکل 2 C ، می فهمیم که Q و τ the از قانون قدرت Eq پیروی می کنند. 9 ، جایی که α ̃ = 0. 02 ± 2. 97. توجه داشته باشیم که هرچه رابطه قانون قدرت بین τ بهتر شود_سعدی and q in Fig. 2 C , the better the power-law approximation P (| R ̃ |>x) ≈ x - α. به منظور تأیید یافته های ما که p (| r ̃ |) از قانون قدرت p (| r ̃ |) ≈ r ̃ - α ̃ −1 که در آن α ̃ ≈ 3 به دست آمده در شکل. 2 A و B ، ما همچنین یک روش سوم با عنوان Hill Estator (35) را به یک سری زمانی واحد از شاخص S& P 500 اعمال می کنیم. ما α ̃ = 0. 07 ± 2. 80 ، مطابق با نتایج موجود در شکل به دست می آوریم. 2 a و b.

در مرحله بعد ، با استفاده از روش شرح داده شده در مورد II روشها ، ما 1819 سری زمانی مختلف Eq را تجزیه و تحلیل می کنیم. 4 ، هر یک نماینده یکی از 1،819 عضو شاخص کامپوزیت NYSE است. برای هر شرکت ، ما عادی را محاسبه می کنیم |r_تی|نوسانات تغییرات حجم معاملات هر شرکت (به معادله 6 مراجعه کنید). در انجیر3 A و B ، ما PDF را در هر دو طرح خط ی-LOG و LO G-LOG نشان می دهیم. در شکل 3 A ، می بینیم که منطقه مرکزی گسترده PDF ، از 2 σ تا 15 σ ، با یک عملکرد نمایی مناسب است. با این حال ، دم دور از تناسب نمایی منحرف می شود. در شکل 3 B ، می فهمیم که دم PDF از 15 σ تا 25 σ ، توسط یک قانون قدرت R ̃ 1+ α ̃ با نماینده α ̃ = 3. 65 ± 1. 00 توصیف شده است.

PDF از مقدار مطلق تفاوت در لگاریتم حجم معاملات ، R ̃ ، از Eq. 4 برای اعضای شاخص کامپوزیت NYSE. ما از روش شرح داده شده در بخش Methods - Case II - برای نوسانات عادی Eq استفاده می کنیم. 6(الف) از 1 σ تا 15 σ ما طرح خط ی-خطی PDF P (R ̃) را نشان می دهیم. خط مستقیم تناسب نمایی است. دم دور PDF از تناسب در منطقه مرکزی PDF منحرف می شود.(ب) طرح ورود به سیستم PDF از 15 σ تا 25 σ. قسمت دم PDF را می توان با قانون قدرت R ̃ 1+ α ̃ با α ̃ = 0. 26 ± 4/4.(ج) برای مقادیر مطلق تغییرات در حجم معاملات (به معادله 4 مراجعه کنید) ، ما میانگین بازده بازده τ را نشان می دهیم_سعدیدر مقابل آستانه Q (در واحدهای یک انحراف استاندارد). حداکثر 8 σ ، ما یک قانون قدرت با نماینده α را نشان می دهیم که منجر به قانون مکعب معکوس می شود.

سپس ، با استفاده از روش شرح داده شده توسط Eqs. 8 و 9 آستانه های مختلف را تعریف می کنیم ، Q ، از 2 σ تا 8 σ (دامنه متفاوت از شکل 3 A). ما کمترین Q را برابر با 2 انتخاب می کنیم زیرا از معیاری استفاده می کنیم که N از 10 ٪ از اندازه نمونه تجاوز نمی کند (36). برای هر Q و هر شرکت ، ما سری زمانی فواصل بازگشت ، τ را محاسبه می کنیم_سعدیبشربرای یک Q معین ، ما تمام مقادیر τ به دست آمده از همه شرکت ها را در یک مجموعه داده منحصر به فرد جمع آوری می کنیم - به طور کلی بازار را به دست می آوریم و میانگین بازده بازده را محاسبه می کنیم ، τ_سعدیبشردر شکل 3 C متوجه می شویم که q و τ_سعدییک قانون مکعب معکوس تقریبی Eq را دنبال کنید. 9 ، جایی که α ̃ = 0. 11 ± 3. 11. روش ما به نارسایی داده ها حساس است ، بنابراین ما نتایج را فقط تا 8 σ نشان می دهیم. واضح است که این روش ارزش α را برای کل بازار می دهد ، نه ارزش α برای شرکت های خاص. با پیوستن به تمام نوسانات عادی |V R ˜ |به دست آمده از 1819 سری زمانی در یک مجموعه داده منحصر به فرد ، ما نماینده هیل از Eq را تخمین می زنیم. 10 ، α ̃ = 0. 003 ± 2. 82 ، مطابق با مقدار نماینده به دست آمده با استفاده از روش Eqs. 8 و 9

در تجزیه و تحلیل قبلی ، ما سری زمانی شرکت هایی را تشکیل می دهیم که شامل شاخص کامپوزیت NYSE با طول های مختلف (از 10 تا 11. 966 نقطه داده) است. به منظور اثبات این که نماینده تپه Eq. 10 تحت تأثیر کوتاهترین سری زمانی نیست ، ما بعدی فقط سری زمانی را بیش از 3000 نقطه داده (1،128 شرکت در کل) تجزیه و تحلیل می کنیم. برای نماینده تپه ، ما α ̃ ̃ = 0. 003 ± 2. 81 ، که عملاً همان مقدار است (α ̃ ̃ 0. 003 ± 2. 82) به دست می آوریم که سری زمانی کوتاه نیز در نظر گرفته شد.

ما همچنین روش هیل (35) و روش Eqs را انجام می دهیم. 8 و 9 ، برای 500 عضو شاخص S& P 500 که شامل این شاخص در ژوئیه 2009 است. در کل 2،601،247 نقطه داده برای R ̃ از Eq وجود دارد. 6برای آستانه ها ، Q ، از 2 σ تا 10 σ ، می فهمیم که q و τ for برای این محدوده یک قانون مکعب معکوس تقریبی از Eq دنبال می کنند. 9 ، جایی که α ̃ = 0. 12 ± 3. 1. ما اکتشاف تپه Eq را تخمین می زنیم. 10 تا α ̃ = 0. 005 ± 2. 86 ، با کمترین Q = 2.

به منظور یافتن فرم عملکردی برای تغییرات حجم معاملات در سطح جهان ، ما 28 شاخص مالی در سراسر جهان را با استفاده از روش شرح داده شده در روش ها (مورد II) تجزیه و تحلیل می کنیم. برای هر Q ، و برای هر یک از 28 شاخص ، مقادیر بازده τ را محاسبه می کنیم. سپس برای یک Q معین ، ما تمام مقادیر τ به دست آمده برای همه شاخص ها را جمع می کنیم و میانگین بازده بازده τ را محاسبه می کنیم_سعدیبشردر شکل 4 a ، ما یک وابستگی عملکردی بین Q و τ ̃ پیدا می کنیم ، که می تواند با یک قانون قدرت با نماینده α ̃ = 0. 06 ± 2. 41. ما همچنین τ ̃ در مقابل Q را برای سطوح مختلف جمع آوری مالی محاسبه می کنیم.

همبستگی های قانون برای شاخص های مالی در سراسر جهان در (بالا) مقادیر مطلق تغییرات قیمت (| r ˜ |) و (پایین) مقادیر مطلق تغییرات تجاری-حجم (| r |). ما از روش شرح داده شده توسط Eqs استفاده می کنیم. 7 و 8(بالا) میانگین بازده بازده τ ̄ در مقابل آستانه Q (در واحدهای انحراف استاندارد) برای مقادیر مطلق تغییرات حجم معاملات. برای هر یک از 28 شاخص مالی در سراسر جهان ، ارزش های مربوط به τ ¯ q را محاسبه می کنیم. سپس تمام مقادیر τ به دست آمده از شاخص های مختلف را جمع آوری می کنیم و τ ¯ q را در مقابل q نشان می دهیم. حداکثر هشت انحراف استاندارد ، ما یک قانون قدرت با نماینده α ̃ ̃ = 0. 06 ± 2. 41.(پایین) میانگین بازده بازده τ ¯ q در مقابل آستانه q برای مقادیر مطلق تغییرات قیمت (به معادله 3 مراجعه کنید) برای سطوح مختلف تجمع. برای هر یک از پنج نوع مختلف تجمع گزارش شده ، می فهمیم که τ ̄ در مقابل Q یک قانون قدرت با یک نماینده بسیار نزدیک به α = 3 نشان می دهد.

سرانجام ، علاوه بر تغییرات حجم معاملات ، ما برای تغییر قیمت سهام روش خود را برای شناسایی رفتار قدرت قانون در دم PDF شرح داده شده در روش ها (مورد II) استفاده می کنیم. PDF تغییرات قیمت سهام ، محاسبه شده برای سهام "متوسط" ، اعتقاد بر این است که P (R) ≈ R - (1+α) را دنبال می کند که در آن α ≈ 3 ، همانطور که از نظر تجربی برای طیف گسترده ای از سهام های مختلف سهام یافت می شود (15 ،17)

در مرحله بعد ، ما آزمایش می کنیم که آیا این قانون به طور کلی بیشتر است یا خیر. برای این منظور ، ما مقادیر مطلق تغییرات قیمت را تحلیل می کنیم ، |حرف_تی|(به معادله 3 مراجعه کنید) ، برای پنج سطح مختلف جمع آوری مالی: (من) اروپا ، (ب) آسیا ، (iii) آمریکای شمالی و جنوبی ، (IV) جهان بدون ایالات متحده ، و (v) کل جهان. برای هر سطح از تجمع ، می فهمیم که میانگین فاصله بازده τ ¯ q ∼ q - 3.

مدل

به منظور مدل سازی همبستگی های متقابل دوربرد بین |حرف_تی|و |r ˜ t |، ما یک فرآیند مشترک جدید را برای تغییرات قیمت معرفی می کنیم