1 بیمه Portfolio ابزاری مهم برای مدیران است تا بخشی از بودجه خود را به سرمایه گذاران تضمین کنند. ظهور استراتژی های بیمه نمونه کارها مربوط به دهه 1970 و 1980 است. للند و روبینشتاین (1976) بیمه نمونه کارها مبتنی بر گزینه (OBPI) را توسعه می دهند. OBPI شامل یک موقعیت طولانی در مورد دارایی پرخطر و موقعیت طولانی در مورد قرار دادن روی دارایی خطرناک با اعتصاب برابر با مبلغ بیمه شده است.[1] Perold (1986) ، Black and Jones (1987) and Perold and Sharpe (1988) بیمه سلفلوپ نسبت ثابت (CPPI) را توسعه می دهند.[2] CPPI شامل یک موقعیت طولانی در اوراق قرضه صفر کوپن است که سرمایه تضمینی را در افق سرمایه گذاری و یک سبد خطرناک اهرم در بخش باقی مانده از ثروت پرداخت می کند. درک و تسلط بر عوامل تعیین کننده عملکردهای مطلق و نسبی استراتژی های بیمه نمونه کارها موضوعات مهمی است.

2Comparisons بین استراتژی های فوق انجام شده است. پرولد و شارپ (1988) و بلک و روحانی (1989) دریافتند که عملکرد نسبی هر استراتژی به روند بازار به همراه سطح نوسانات وابسته است. Bookstaber و Langsam (1988) ، Zhu and Kavee (1988) و BookStaber و Langsam (1988) موضوعات مختلفی از جمله استقلال مسیر ، توانایی تحقق ضمانت در بلوغ و هزینه محافظت را بررسی می کنند. همه نویسندگان نتیجه می گیرند که هیچ استراتژی غالب وجود ندارد. DO (2002) می یابد که عملکرد نسبی هر استراتژی به فراوانی تعادل مجدد بستگی دارد. Bertrand and Prigent (2005) با مقایسه چند معیار از استراتژی های OBPI و CPPI نشان می دهد که نمی توان به وضوح "بهترین" استراتژی را نشان داد. با این حال آنها نتیجه می گیرند که عملکرد نسبی هر استراتژی با تفاوت در پویایی Delta ، Delta ، Gamma و Vega توضیح داده می شود.[3] آنارت و همکاران.(2009) همچنین نتیجه می گیرد که هیچ استراتژی نمی تواند در همه شرایط بازار بر دیگران مسلط شود. زاگست و کراوس (2011) شرایط مربوط به پارامتر را مشخص می کنند تا استراتژی CPPI به صورت تصادفی بر استراتژی OBPI در سفارشات دوم و سوم حاکم باشد. آنها برای تسلط مرتبه اول نتایج قابل توجهی به دست نمی آورند.

3Cesari و Cremonini (2003) با شبیه سازی ها می یابند که یک استراتژی غالب به وضعیت بازار بستگی دارد. در بازارهای خرس و بدون روند ، استراتژی CPPI به نظر می رسد کارآمدترین است. علاوه بر این ، استراتژی OBPI از استراتژی های خرید و نگهدارنده ، مخلوط ثابت و CPPI در همه شرایط بازار بهتر عمل نمی کند. به همین ترتیب ، هو و همکاران.(2011) نتیجه می گیرد که رتبه بندی عملکرد بین CPPI و OBPI به معیارهای مورد استفاده و همچنین روند بازار بستگی دارد. Balder and Mahayni (2008) بر مسئله قفل نقدی ، یعنی عدم توانایی یک استراتژی برای استفاده از بازیابی بازار به دنبال افت بازار تمرکز می کند زیرا این نمونه کارها کاملاً از دارایی بی خطر تشکیل شده است. آنها نتیجه می گیرند که انتخاب بهترین استراتژی با توجه به این معیارها امکان پذیر نیست زیرا هر استراتژی یک رفتار مختلف قفل نقدی را نشان می دهد.

با این حال ، 4bertrand and Prigent (2011) نتیجه می گیرد که استراتژی CPPI در هنگام استفاده از اقدامات ریسک نزولی بر استراتژی OBPI حاکم است [4].

5 هدف مقاله ما ، پرداختن به یک موضوع کاملاً متفاوت اما مهم برای تجزیه و تحلیل استراتژی های بیمه نمونه کارها است. مقالات فوق الذکر استراتژی های پرتفوی را فقط با محدودیت اروپایی بررسی می کنند. در یک استراتژی نمونه کارها به سبک اروپایی ، این ضمانت فقط در افق سرمایه گذاری باید تحقق یابد. اولین سهم ما معرفی و تجزیه و تحلیل CPPI به سبک آمریکایی است.[5] به بهترین دانش ما ، این پسوند جدید است. در یک CPPI به سبک آمریکایی ، این ضمانت به طور دائم تا بلوغ برآورده می شود. CPPI آمریکایی فوراً مبلغ تضمینی را در دارایی بی ریسک و دارای یک جریان مداوم که سرمایه گذاری می شود ، همراه با تفاوت بین ارزش نمونه کارها و مبلغ بیمه شده ، در دارایی پرخطر سرمایه گذاری می کند. یک نتیجه مطلوب این ویژگی آمریکایی این است که این استراتژی از خطر قفل نقدی مصون است. دمپستر و همکاران.(2006) استدلال می کند که CPPI به سبک اروپایی به مدیران اجازه نمی دهد از یک صعود بالقوه استفاده کنند. ما شواهدی ارائه می دهیم که این دیگر در مورد CPPI آمریکایی صدق نمی کند. این دومین سهم ما است.

6 سهم بعدی ما بررسی، همراه با استراتژی های اروپایی، استراتژی های پورتفولیویی است که ضمانت آمریکایی را برآورده می کنند. ما چهار استراتژی را در نظر می گیریم: یک OBPI اروپایی، یک OBPI آمریکایی، یک CPPI اروپایی و یک CPPI آمریکایی. ما انتظار نداریم که یک استراتژی بدون توجه به معیارها بر استراتژی های دیگر تسلط داشته باشد، زیرا هر استراتژی راه حل بهینه یک مسئله بهینه سازی خاص است. بنابراین، ما بر معیار عملکرد خاصی تکیه نمی کنیم. استراتژی های آمریکایی به سرمایه گذاران مزیت خروج زودهنگام و دستیابی به مبلغ بیمه اولیه (صرف نظر از زمان خروج آنها) را می دهد.[6] آیا این مزیت استراتژی های آمریکایی با عملکرد نسبی پایین تر به دست می آید؟ما این موضوع را با تجزیه و تحلیل، برای هر استراتژی، ارزش های انحلال تا سررسید صندوق بررسی می کنیم. علاوه بر این، ما حساسیت های هر استراتژی، یعنی دلتا و گاما را مطالعه می کنیم. ما عملکرد نسبی یک استراتژی معین را بر اساس دو شاخص نشان می دهیم. مورد اول به پویایی استراتژی در افزایش یا کاهش بازارها مربوط می شود. مورد دوم به توانایی استراتژی برای به دست آوردن از یک بازار رو به رشد به دنبال یک افت یا رکود بزرگ که در پاییز 2008 شاهد بودیم مربوط می شود. ما هم شبیه سازی مسیر و هم شبیه سازی تاریخی را انجام می دهیم. در شبیه سازی تاریخی، عملکرد هر استراتژی را تحت افت شدید بازار در سال 2008 و به دست آوردن مجدد سال 2009 پس از آن برجسته می کنیم. در شبیه سازی مسیر، استراتژی ها را تحت سناریوهای مختلف بازار ارزیابی می کنیم.

7 مقاله به شرح زیر سازماندهی شده است. ما در بخش 2 استراتژی های مختلف را شرح می دهیم و مسئله بهینه را برجسته می کنیم. در بخش 3 ما یک شبیه سازی تاریخی بر اساس داده های واقعی انجام می دهیم و پویایی هر استراتژی را با هم مقایسه می کنیم. ما یک مقایسه شبیه سازی مسیر را در بخش 4 انجام می دهیم و رفتار مقادیر انحلال، دلتاها و گاماها را تحت روندهای مختلف بازار بررسی می کنیم. سپس نتایج اصلی ما در بخش 5 خلاصه می شود.

2- مسئله حداکثر سازی و بهینه سازی

8 اولین مشکلی که ما به آن می پردازیم در مورد بهینه بودن استراتژی های پویا است که با حداقل تضمین شده سازگار است. چهار استراتژی مختلف مقایسه شده است که هر یک از آنها یک مشکل حداکثر سازی متفاوت را حل می کند. به اندازه کافی جالب ، استراتژی های CPPI و OBPI برای مشکلات حداکثر رساندن خاص بهینه هستند.[7] تفاوت در نحوه مدیریت ضمانت ، یا از طریق محدودیت در کل ارزش نمونه کارها که منجر به استراتژی های OBPI می شود ، [8] یا از طریق سرمایه گذاری در یک اوراق قرضه صفر (یا پول نقد کوتاه مدت است. موقعیت) علاوه بر یک نمونه کارها با اهرم مثبت غیر محدود. این راه حل دوم منجر به استراتژی های CPPI می شود.

9 در موارد زیر ، بسته به اینکه ضمانت اروپایی یا آمریکایی باشد ، چهار مورد را ارائه می دهیم و آیا اوراق بهادار محدود یا نامشخص را بهینه می کنیم. ضمانت اروپایی به این معنی است که باید فقط در افق سرمایه گذاری (یا بلوغ) تحقق یابد. در مقابل ، یک ضمانت آمریکایی به این معنی است که باید بین تاریخ سرمایه گذاری اولیه و بلوغ به طور دائم برآورده شود. بنابراین این چهار مورد توسط OBPI اروپایی و آمریکایی برای استراتژی های محدود و CPPI اروپایی و آمریکایی برای اوراق بهادار نامشخص برچسب گذاری شده است.

10 شما تجزیه و تحلیل در چارچوب Black and Scholes (1973) ، یعنی یک بازار بدون داوری ، کامل و بدون اصطکاک انجام می شود. ما فرض می کنیم که پویایی قیمت دارایی ریسک پذیر از معادله دیفرانسیل تصادفی تحت احتمال تاریخی پی پیروی می کند:

12 جایی که یک حرکت استاندارد براون را نشان می دهد ، و؟و؟پارامترهای ثابت هستند. ما به دارایی ریسک پذیر به عنوان شاخص سهام که می تواند به عنوان سبد بازار اقتصاد تفسیر شود ، اشاره می کنیم. Bajeux-Besnainou and Portait (1997) نشان می دهد [9] که ارزش T-Portfolio Market مشکل عامل ورود به سیستم را حل می کند:

14where v_Tارزش زمانی یک استراتژی نمونه کارها را بر اساس s نشان می دهد. استراتژی خرید و نگهدارنده در سبد بازار بهینه است.

2. 1 - اوراق بهادار بدون محدودیت

15 ما توسط V نشان می دهیم_tارزش زمانی یک استراتژی خود تأمین مالی با V₀برابر با 1 $ [10]. ما توسط k سرمایه تضمین شده ، بیان شده در درصد از مقدار اولیه (به عنوان مثال k = 90 ٪) را بیان می کنیم. t نشان دهنده بلوغ صندوق تضمین شده است. ارزش صندوق محدود است که در تنها تاریخ نهایی (برای پرونده اروپا) یا در هر تاریخ واسطه بین 0 تا T (برای پرونده آمریکا) از K برتر باشد. R یک نرخ بهره بی خطر ثابت است.

2. 1. 1 - مورد اروپایی

16 راهی برای تکمیل تضمین نهایی مطمئناً سرمایه گذاری بخشی از ارزش اولیه صندوق در اوراق قرضه کوپن صفر با پرداخت K (? V₀) در تاریخ نهایی T، و برای مدیریت پویا مقدار باقیمانده، که معمولاً بالشتک نامیده می شود، با پورتفولیوی اهرمی مثبت. بنابراین مدیر صندوق مقدار V را جدا می کند_tبه دو بخش:

18 جایی که C_tمقدار زمان t بالشتک و F است_t,T= Ke r ( T t ) کف زمان t است (یعنی ارزش زمانی t یک اوراق قرضه کوپن صفر که K را در سررسید پرداخت می کند). در زمان 0، بالشتک را می توان به سادگی به صورت زیر نوشت:

20 مدیر صندوق با مشکل حداکثر سازی زیر مواجه است:

22 که در آن تابع سودمندی v ریسک گریزی او را منعکس می کند، که ممکن است کوچک باشد، به دلیل این واقعیت که تضمین به طور قطع انجام می شود. استفاده از یک تابع ابزار نوشته شده بر روی ثروت ترمینال راحت است:

24 و ?? 1. [11] راه حل بهینه برای مسئله 2. 5 با گزاره زیر ارائه می شود:

25 گزاره 1. - راه حل معادله.(5) عبارت است از:

27 که در آن y یک ثابت است که با انجام محدودیت بودجه انجام می شود و S_Tتوسط معادلات داده شده است.(1) و (2).

28 اثبات.- با تکیه بر رویکرد مارتینگل (به عنوان مثال، کاکس و هوانگ (1989) را ببینید)، ما مسئله حداکثر سازی را می نویسیم:

30 با توجه به محدودیت بودجه:

32 جایی که اچ_Tراه حل برای:

34 با .

35 مقدار بهینه توسط:

37 که در آن، از محدودیت بودجه، داریم:

43 معادله(13) نشان می دهد که راه حل یک توان m از دارایی پرخطر است. علاوه بر این، از معادله روشن است.(14)، که m هم عملکرد بازار و هم ریسک گریزی نسبی را در بر می گیرد. هر چه m بزرگتر باشد، عامل ریسک گریز کمتری دارد. مدیران معمولا m را به عنوان یک پارامتر "اهرم" در نظر می گیرند که اغلب برابر با 3 یا گاهی اوقات بیشتر انتخاب می شود، اما در هر صورت بزرگتر از 1 است. ویژگی توان تابع مقدار بهینه شبیه به مقدار پایانی داده شده توسط m است. CPPI اهرمی نوشته شده در پرتفوی بازار S . در واقع، ما برای یک بالشتک اهرمی C داریم:

45 دانستن اینکه مقدار mC_tدر S سرمایه گذاری شده است_tو مقدار (m 1) C_tبه طور مستمر وام گرفته می شود. حل معادله(15) می دهد:

47 با مقایسه معادله(16) با معادله(7) (یا (13))، به این نتیجه رسیدیم که استراتژی CPPI زمانی که در پرتفوی بازار نوشته می شود، با استفاده از یک پارامتر اهرمی که ریسک گریزی عامل را در بخش ریسک پذیر صندوق منعکس می کند، بهینه است.

48Bertrand و Prigent (2005) محلول بهینه CPPI را هنگامی که نوسانات زیرین تصادفی است ، به دست می آورند و Cont و Tankov (2009) در صورت داشتن مسیر ناپیوسته ، یک راه حل بهینه را بدست می آورند. لیو و همکاران.(2003) و برانگر و همکاران.(2008) تأثیر دینامیک غنی تر از هر دو زمینه و نوسانات آن (هر دو فرآیند پرش را دنبال می کند) بر تخصیص پویا بهینه نمونه کارها را مطالعه می کند. لیو و پان (2003) و برانگر و همکاران.(2008) هنگامی که سرمایه گذار به بازار مشتقات دسترسی داشته باشد ، استراتژی های بهینه سرمایه گذاری را تجزیه و تحلیل کنید. Vrecko و Branger (2009) هر دو استراتژی اروپایی (OBPI و CPPI) را با هم مقایسه می کنند وقتی مجموعه فرصت سرمایه گذاری تصادفی است. آنها دریافتند که فرایند تولید بازده نقش مهمی در تعیین عملکرد نسبی هر استراتژی دارد. آنها نشان می دهند که گنجاندن پرش ها منجر به اولویت استراتژی CPPI بر استراتژی OBPI می شود.

49 برای ساده کردن ارائه نتایج بیشتر ، اجازه دهید؟_tمقدار زمانی یک واحد کوسن را مشخص کنید. ما پس داریم

51 و؟₀= 1 $. ما این زیرمجموعه را با گزاره زیر خلاصه می کنیم:

52 گزاره 2. - استراتژی پویا CPPI که توسط Eq شرح داده شده است.(16) مشکل حداکثر سازی را حل می کند 5. بنابراین ارزش ترمینال صندوق تضمین شده توسط بهینه داده می شود

54 این استراتژی با دو موضوع اصلی ، یعنی قفل پول نقد و خطر شکاف روبرو است. اولی مربوط به قرار گرفتن در معرض برابر با صفر به دلیل کاهش بازار است که در صورت افزایش بازار ، این استراتژی را بدون پتانسیل صعودی ترک می کند. دومی نشان دهنده خطر عدم تحقق ضمانت در بلوغ است که پس از تصادف بازار 1987 در سال 1987 بود.[12]

2. 1. 2 - پرونده آمریکا

55 ویژگی آمریکایی CPPI مدیر صندوق را به سمت نگه داشتن مبلغ تضمین شده K در هر تاریخ واسطه هدایت می کند. بنابراین ، CPPI آمریکایی فقط یک ضمانت جزئی از موقوفات اولیه را تضمین می کند زیرا K باید نسبت به ثروت اولیه پایین باشد (K0) [13].

56 در هر زمان t ، v_t ? K> F_t,T، این استراتژی ارزش بالاتری را نسبت به اروپایی فراهم می کند وقتی بازار برای سرمایه گذاران که تصمیم به خروج زود هنگام (قبل از بلوغ) دارند ، نزولی باشد. علاوه بر این ، ما فرض می کنیم که K در دارایی بدون ریسک سرمایه گذاری می شود؟_t= E RT که به طور مداوم نرخ بهره فوری r را ارائه می دهد. جریان مداوم RKDT در کوسن سرمایه گذاری مجدد می شود. این منجر به یک معادله دیفرانسیل تصادفی تنظیم شده برای C می شود:

58 که در آن rKdt به معنای جریان نقدی تحویل شده توسط سرمایه K است. سایر اصطلاحات به طور مشابه با معادله می نویسند.(15). شرط اولیه معادله(18) توسط:

60 زیرا مقدار تضمین K از اولین تاریخ 0 فعال است. [14] پس از تنظیم مجدد، معادله.(18) می نویسد

حل این معادله دیفرانسیل تصادفی به دلیل ترکیبی از عبارت های رانش ثابت و متناسب، دشوار است. با استفاده از نتایج در Revuz و Yor (1999)، گزاره زیر راه حل را بدست می آورد:

63 گزاره 3. - راه حل معادله.(20) توسط

65 کجا؟_tآیا حل مسئله 5 نمونه کارها بهینه بدون محدودیت قبلا توضیح داده شد؟_tاز رابطه زیر بدست می آید:

69 با U₀= سی₀= V₀? ک . با استفاده از گزاره 2. 3، ص. 378، در Revuz and Yor (1999)، ما حل معادله را استخراج می کنیم.(23):

71 جایی که X_t= m? W_t، و . جایگزینی U_tخدا حافظ ؟؟تلویزیون_t? K) و مرتب کردن مجدد عبارت ها نتیجه مطلوب را به دست می دهد.

72 معادله(21) امکان تفسیر ساده را فراهم می کند. همانطور که توسط معادله توضیح داده شده است.(20)، سرمایه تضمین شده K سرمایه گذاری شده در دارایی بدون ریسک، یک جریان نرخ بهره را ارائه می دهد که به صورت پویا در داخل بالشتک سرمایه گذاری می شود. راه حل یکپارچه (21) مقدار مستمر اضافی از نمونه کارها را برجسته می کند؟. در واقع، مقدار نمونه کارها را نشان می دهد؟که با استفاده از جریان نقدی rKds تولید شده توسط سرمایه در بازه زمانی [s, s + ds] خریداری می شود. انتگرال بیانگر کل مقدار اضافی سبد است که می توان از تاریخ اولیه تا تاریخ t خریداری کرد.

73 با توجه به ویژگی خاص توابع ابزار CRRA که راه حل بهینه مسئله 5 برای آنها به وقف اولیه بستگی ندارد، می دانیم که سرمایه گذاری 1 دلار در تاریخ s در پورتفولیو بهینه است؟_s .

74بنابراین، همراه با کسر جریان نقدی، کل مبلغ به طور بهینه در ?. این استدلال به گزاره جدید ما منجر می شود:

75 گزاره 4. - استراتژی پویا CPPI که با معادله (20) توضیح داده شده است، مشکل حداکثر سازی را حل می کند:

77 با دانستن اینکه بالشتک به طور پیوسته شامل جریان نرخ بهره تولید شده توسط سرمایه K است. بنابراین ارزش پایانی صندوق تضمین شده آمریکایی به طور بهینه توسط:

79 ارزش واسطه ای صندوق همیشه برتر از K است و برابر است با:

81 اثبات- اثبات ما در یک زمان گسسته با چرخاندن راه حل بهینه به دست آمده در یک افق سرمایه گذاری یک دوره استاتیک (یعنی ما ، ما بر روی راه حل بهینه به دست آمده در پرونده اروپا می رویم (معادله 17)). اجازه دهید ؟T مرحله زمانی با ، جایی که n تعداد مراحل زمانی را نشان می دهد. ما از پرونده اروپا می دانیم که راه حل بهینه در [0 ،؟t] با موقعیت طولانی در نمونه کارها داده می شود؟_؟حرفدر تاریخ داده شده است؟t:

83 به خاصیت فوق از عملکرد CRRA ،؟_؟حرفهنوز بهینه است؟t. بنابراین ، سرمایه گذاری مجدد جریان نقدی تولید شده (RK؟ T) بهینه است؟_؟حرفوادبنابراین ، Eq.(28) می نویسد:

85 قدم جلوتر ، ما داریم:

87 پس از مراحل ، ما به دست می آوریم:

89 ، محدودیت؟t تا صفر اثبات را تکمیل می کند.

90eq.(26) باید با Eq مقایسه شود.(17). ارزش های بهینه اروپایی و آمریکایی با مقادیر سرمایه گذاری شده در سبد سهام متفاوتی متفاوت است؟قبلاً شرح داده شده است. این واقعیت که می توان مقادیر کمی از نمونه کارها را از طریق طول عمر صندوق اضافه کرد ، باعث می شود که پایانه آمریکا وابسته به مسیر باشد. وابستگی مسیر از ویژگی های آسیایی از زمان ارزش زمانی نمونه کارها به انتگرال (معکوس) بستگی دارد؟_sبیش از [0 ، t]. یعنی این استراتژی از عملکرد متوسط متوسط زیرین در دوره سرمایه گذاری بهره می برد. علاوه بر این ، جالب است که توجه داشته باشید که ارزش نهایی صندوق عملکرد کاهش ارزشهای نمونه کارها متوسط است؟_sواددر نتیجه ، استراتژی CPPI آمریکایی از عملکردهای واسطه ای منفی سبد بازار استفاده می کند. این ویژگی خاص CPPI آمریکایی نقش مهمی در شبیه سازی هایی که در دنباله ارائه می دهیم ایفا می کند.

91furthermore ، Eq.. این بدان معنی است که خطر قفل پول نقد دور ریخته می شود.

2. 2 - اوراق بهادار محدود

92 در این زیر بخش ، ما نتایج ال کارووی و همکاران را به یاد می آوریم.(2005). نویسندگان نشان می دهند که استراتژی های OBPI هنگام نوشتن بر روی نمونه کارها بهینه بدون محدودیت بهینه هستند. تفاوت اصلی با زیر بخش قبلی بر این واقعیت است که مشکل حداکثر سازی بر روی ابزار مورد انتظار ارزش کل صندوق می نویسد. بنابراین یک محدودیت ارزش به محدودیت بودجه اضافه می شود. بنابراین ، نماینده با مشکل حداکثر سازی جدید روبرو است:

94 جایی که U یک کاربردی است که منعکس کننده ریسک او است. مشکل 33 وقتی ضمانت اروپایی است. در این حالت ، محدودیت ارزش در تنها تاریخ نهایی t انجام می شود.

95 در پرونده آمریکایی ، نماینده با مشکل حداکثر دیگر روبرو است:

97 برای آن محدودیت در هر تاریخ واسطه ای بین 0 تا t انجام می شود.

98 در هر دو مورد ، عملکرد ابزار U می تواند به طور مشابه انتخاب شود. ال کارووی و همکاران.(2005) راه حل های بهینه برای مشکلات 33 و 34 هنگامی که U به عنوان V ، یک عملکرد CRRA است. با این حال ، توجه به این نکته حائز اهمیت است که از ریسک U باید بالاتر از ریسک استفاده شده با V باشد. این را می توان به شرح زیر توضیح داد. در حالی که ابزار V فقط با بیش از ثروت بیش از ضمانت انجام می شود ، ابزار U بر ارزش کل صندوق انجام می شود. این خاصیت توسط پزشکان به خوبی درک می شود زیرا آنها معمولاً اوراق بهادار مبتنی بر گزینه را که در شاخص های سهام نوشته شده اند ، بدون اهرم مدیریت می کنند. هنگامی که آنها این کار را انجام می دهند ، آنها با استفاده از یک تابع ابزار لگاریتمی ، مشکلات حداکثر 33 و 34 را حل می کنند. بنابراین نمونه کارها بهینه بدون محدودیت با توجه به سبد بازار خطی است (به مسئله 2 مراجعه کنید).

99 متعاقباً ، ما در زیر فرض می کنیم که نمونه کارها مشکل نامعلوم 2 را حل می کند ، و ما استراتژی هایی را که مشکلات 33 یا 34 را با ورود به سیستم حل می کند ، توصیف می کنیم: [15] U (v_T) = ln (v_T ).

2. 2. 1 - استراتژی مبتنی بر اروپایی

100 استراتژی OBPI بخش مثبتی از ثروت را ترکیب می کند؟؟[0،1] سرمایه گذاری در تخصیص بهینه بدون محدودیت S و یک گزینه اروپایی قرار داده شده که بازپرداخت آن هنگام سررسید توسط:

102AT بلوغ t ، ارزش صندوق به شرح زیر است:

104 در این مورد ، گزینه Put اروپایی است. از این رو ، ارزش زمان 0 صندوق این است:

106 کجا؟E (؟₀، 0) حق بیمه اولیه Put است که اگر فرض کنیم S از پویایی داده شده توسط Eq پیروی می کند ، توسط فرمول Black and Scholes ارائه می شود.(1).[16]

107 برای برآورده کردن محدودیت بودجه v₀= 1 $ ، مقدار پارامتر؟در تاریخ اولیه محاسبه می شود و در [0 ، t] ثابت می ماند.

108 ما به گزاره 2. 2 ال کاروئی و همکاران متکی هستیم.(2005) برای گزاره زیر:

109 گزاره 5. - استراتژی مبتنی بر Put که بر روی مسئله حل نمونه کارها 2 نوشته شده است ، راه حل بهینه برای مسئله 33 است. ارزش نهایی صندوق پس از آن توسط بهینه ارائه می شود:

2. 2. 2 - استراتژی مبتنی بر آمریکایی

111 راه حل ارائه شده در زیر بخش قبلی را می توان برای تحقق محدودیت آمریکایی V تنظیم کرد_t؟k؟_حرف? 0. ایده جایگزینی گزینه European Put با گزینه American Put است. معادلهبنابراین (35) به شرح زیر بازنویسی می کند:

113 کجا؟_a(?? S₀, 0) حق بیمه زمان-0 یک قرار آمریکایی است. پارامتر؟? متفاوت است بابه دلیل حق بیمه اضافی مربوط به ویژگی آمریکایی put.?? در تاریخ 0 با حل محدودیت بودجه V تعریف می شود₀= 1.

114 The American Put زمانی اعمال می شود که زیربنای ?? S از put وارد حوزه تمرین می شود. اجازه دهید مرز تمرین b را معرفی کنیم_tتعریف شده توسط:

116 دامنه تمرین زمانی به دست می آید که ?? S_t ? b_t. همانطور که به عنوان مثال در Musiela و Rutkowski (2005) توضیح داده شد (برای جزئیات کامل به فصل 8 مراجعه کنید)، سرمایه آمریکایی یک جریان سودی برابر با rKdt برای هر تاریخ t صرف شده در حوزه تمرین ارائه می دهد. این جریان سود قابل سرمایه گذاری مجدد در سهام بیشتری است و پارامتر ?? بنابراین تا زمانی که دارایی پایه از حوزه تمرین خارج شود، می توان آن را افزایش داد. سپس استراتژی مبتنی بر قرار دادن بهینه مدیریت شده یک پارامتر وابسته به مسیر می دهد؟?_t :

118 بنابراین این استراتژی یک ارزش نهایی برای صندوق می دهد که برابر است با:

120 بهینه بودن چنین استراتژی زمانی به دست می آید که دارایی زیربنایی S مسئله بیشینه سازی نامحدود 2 را حل کند. با تکیه بر گزاره 4. 3 ال کاروی و همکاران.(2005)، ما حق داریم بنویسیم:

121 گزاره 6. - استراتژی مبتنی بر قرار آمریکایی که بر روی پرتفوی حل مسئله 2 نوشته شده است، راه حل بهینه برای مسئله 34 است. سپس ارزش پایانی صندوق به صورت بهینه توسط:

123 معادله(44) باید با معادله مقایسه شود.(40). در واقع، مقادیر بهینه اروپایی و آمریکایی با مقادیر سرمایه گذاری شده در سبد اصلی S متفاوت است. همانطور که در مورد آمریکایی برای CPPI، ارزش پایانی آمریکایی استراتژی OBPI وابسته به مسیر است. با این حال، این یک وابستگی به مسیر بازگشتی است و به حداقل S که توسط . در واقع، ارزش OBPI آمریکایی bt به عبور از مرز تمرین توسط زیردست حساس است. جالب توجه است که ارزش نهایی صندوق تابعی کاهشی از مقادیر میانی پرتفوی S است._t. در نتیجه، استراتژی OBPI آمریکا از عملکردهای واسطه منفی پرتفوی بازار استفاده می کند، اما این کار را متفاوت از راهبرد CPPI انجام می دهد.

124 تفاوت بین بازده نهایی CPPI اروپا و آمریکا، از یک سو، و OBPI اروپایی و آمریکایی، از سوی دیگر، ممکن است به شرح زیر اشاره شود. اول، از معادله.(17) و (26)

126 نشان می دهد که CPPI آمریکا در سررسید بهتر از استراتژی اروپا عمل می کند، یعنی زمانی که قیمت بازار کاهش می یابد. دوم، ما تفاوت بین OBPI آمریکایی و اروپایی را تجزیه و تحلیل می کنیم (معادل (40) و (44))،

128 با 1 نشان دهنده تابع نشانگر است. در واقع از زمان اولیه ?? کمتر از ?(حق بیمه آمریکایی بالاتر از اروپایی است)، استراتژی OBPI اروپایی زمانی که قیمت شاخص به طور یکنواخت افزایش می یابد (یا اندکی کاهش می یابد به طوری که گزینه فروش آمریکایی وارد منطقه تمرین نمی شود، انتظار می رود استراتژی OBPI اروپا بر استراتژی آمریکا غالب شود، به عنوان مثال،?? اولیه تغییر نمی کند). با این حال، در مورد رکود بازار و به دنبال آن بهبود بازار (یعنی ? ?_تی>?)، OBPI آمریکایی از اروپایی بهتر عمل می کند.

129علاوه بر این، عملکرد پایانی نسبی CPPI اروپا با توجه به استراتژی OBPI ممکن است در یک بازار رو به کاهش پیش بینی شود. در واقع، تفاوت بین معادلات.(17) و (40) بازده:

131 به کدام خلاصه می شود؟_تی( V₀? که؟rT)؟0 اگر؟اس_T

3- شبیه سازی تاریخی

132 ما شبیه سازی های تاریخی را برای همه استراتژی هایی که قبلاً شرح داده شد، انجام می دهیم. ما فرض می کنیم که پرتفوی بازار ما یک شاخص بازار سهام است و شاخص های بازار ایالات متحده و اروپا را در نظر می گیریم: Nasdaq، S& P500 و DAX. شاخص های ایالات متحده، که به عنوان نماینده ترین روند بازار در نظر گرفته می شوند و به طور گسترده در ادبیات دانشگاهی استفاده می شوند، دو الگوی افزایشی متفاوت را در دوره نمونه ما نشان می دهند. افزایش S& P500 نامنظم تر از نزدک است. DAX الگوی متفاوتی را نشان می دهد، زیرا برخلاف شاخص های ایالات متحده، تنها اندکی کمتر از مقدار اولیه خود در دوره نمونه ما کاهش می یابد. ما CAC 40 را در نظر نمی گیریم زیرا الگوی مشابه S& P500 را نشان می دهد.

3. 1 - مجموعه داده ها

133 داده های مربوط به شاخص های سهام و نرخ های بهره، به دست آمده از رویترز، از 29 دسامبر 2004 تا 30 دسامبر 2009 را در بر می گیرد. بنابراین، ما می توانیم عملکرد استراتژی های آمریکا را با توجه به توانایی آنها در بهره گیری از بازگشت بازار به دلیل وابستگی به مسیر، برجسته کنیم. ما تمام استراتژی ها را برای بلوغ در آغاز (29 دسامبر 2004) 5 ساله (30 دسامبر 2009) اجرا می کنیم.

134 ما از قیمت های هفتگی (چهارشنبه) استفاده می کنیم. علاوه بر این ، مقدار پارامتر اهرم 3 و مبلغ بیمه شده برای NASDAQ 87 ٪ ، برای S& P500 82 ٪ و 87 ٪ برای DAX سطح اولیه (در تاریخ 12/29/2004) از شاخص است. این سطوح انتخاب شده دوره نمونه را به سه زیر دوره مشخص شده تقسیم می کنند. اول ، این شاخص فراتر از سطح ضمانت افزایش می یابد. دوم ، این شاخص در زیر سطح ضمانت کاهش می یابد. و سوم ، این شاخص از سطح ضمانت فراتر می رود.

135furthermore ، ما از نوسانات ثابت 20 ٪ برای قیمت گذاری گزینه های Put استفاده می کنیم. این مقدار با میانگین نوسانات سالانه تحقق یافته در دوره نمونه مطابقت دارد. در پیوست ، ما تأثیر مقادیر بالاتر پارامترهای m را تجزیه و تحلیل می کنیم؟و K (M = 6 ،؟ = 40 ٪ و K = 95 ٪).

136 ما برای محاسبه CPPI آمریکایی و میزان بلوغ باقیمانده برای محاسبه CPPI اروپا و همچنین OBPI آمریکایی و اروپا ، ارزشهای هفتگی نرخ بهره یک هفته را برای محاسبه CPPI آمریکایی و موارد بلوغ باقیمانده در نظر بگیرید. نرخ ها با استفاده از درون یابی Spline مکعب از منحنی های عملکرد ایالات متحده و یورو بدست می آیند. اگرچه استفاده از نرخ بهره متغیر با زمان متناقض با فرض نرخ کوتاه فوری ثابت است که در مشتق نتایج نظری ما مورد استفاده قرار می گیرد ، ما قصد داریم کاهش قابل توجهی در نرخ بهره را که در طول بحران رخ داده است در نظر بگیریم. سرانجام ، برای برجسته کردن نقش نرخ بهره ، ما مورد نرخ ثابت را در نظر می گیریم و از میانگین مقادیر در مدت زمان نمونه نرخ نقطه سه ماهه برای منحنی های ایالات متحده و یورو استفاده می کنیم که به ترتیب 2. 80 ٪ و 2. 60 ٪ هستند.[20]

3. 2 - نتایج

هفته 137 ، ما ارزشهای انحلال را برای استراتژی های OBPI و CPPI اروپا و آمریکایی محاسبه می کنیم. ارزشهای انحلال میانی برای CPPI اروپایی و آمریکایی توسط: