قضیه واگرایی

قضیه واگرایی یک رابطه برابری بین انتگرال های سطح و انتگرال های حجم است که واگرایی از یک میدان بردار درگیر است. این اغلب در مشکلات مکانیک بوجود می آید ، به ویژه در مشکلات حساب های متغیر در مکانیک. برابری ارزشمند است زیرا انتگرال ها اغلب به وجود می آیند که ارزیابی به یک شکل (حجم در مقابل سطح) دشوار است ، اما ارزیابی در فرم دیگر (سطح در مقابل حجم) آسان تر است. در این صفحه قضیه واگرایی ، چندین تغییر در آن و چندین نمونه از کاربرد آن ارائه شده است.

قضیه واگرایی

قضیه واگرایی ، که برای یک میدان بردار اعمال می شود () است.

[ int_v nabla cdot ، dv = int_s cdot ، ds ] که در آن LHS یک حجم یکپارچه بر روی حجم است ، (v ) ، و RHS یک انتگرال سطح است که بر روی سطح قرار می گیرد و سطح آن را محصور می کند و سطح آن را محصور می کند. جلد. سطح دارای واحد اشاره به بیرون طبیعی است ، (). قسمت بردار ، () ، به هیچ وجه می تواند هر زمینه بردار باشد. فرض نکنید که به دلیل استفاده از حرف () در معادله فوق محدود به نیروها است.

نماد تنشور

قضیه واگرایی را می توان در نماد تانسور نوشت

[ int_v f_ ، dv = int_s f_i n_i ، ds ]

قضیه واگرایی در 1-D

قضیه واگرایی چیزی غیر از تعمیم فرآیند ادغام مستقیم 1 بعدی است که همه ما می شناسیم و دوست داریم. برای دیدن این ، با قضیه واگرایی که به صورت نوشته شده است شروع کنید

[ در تلویزیون ،<partial f_x over partial x>+ <partial f_y over partial y>+ <partial f_z over partial z> ، dv = int_s f_x n_x + f_y n_y + f_z n_z ، ds ] اما در 1-D ، هیچ مؤلفه (y ) یا (z ) وجود ندارد ، بنابراین می توانیم از آنها غفلت کنیم. و انتگرال حجم به یک انتگرال ساده بر روی (x ) تبدیل می شود ، بنابراین (dv ) (dx ) می شود.

در RHS ، انتگرال سطح به مرزهای چپ و راست روی محور x تبدیل می شود و (n_x ) برابر ب ا-1 در مرز چپ و 1 در سمت راست است. همه اینها معادله فوق را کاهش می دهد

[ int_^ ،<partial f_x over partial x> ، dx = f (x_2) - f (x_1) ] و این است! برای نشان دادن این کار ، اجازه دهید (f (x) = x^2 ) ، سپس (<partial f_x over partial x>= 2x ) ، و ما می گیریم

[ int_^ ، 2x ، dx = (x_2)^2 - (x_1)^2 ] که به وضوح نتیجه 1-d درست است.

مثالهای زیر فقط به این دلیل که این ریاضیات را ساده نگه می دارد ، انتگرال های مربوط به حجم مکعب را نشان می دهد و اجازه می دهد تا مفاهیم راحت تر درک شوند. اما توجه داشته باشید که قضیه واگرایی بدون در نظر گرفتن شکل حجم اعمال می شود.

مثال واگرایی

یک میدان سرعت ثابت از یک سیال که در جهت y با 5 متر بر ثانیه جریان دارد ، در نظر بگیرید. جریان حجمی خالص ، (q ) ، خارج از جعبه نشان داده شده در شکل ، با هر صورت دارای مساحت = 4m 2 است.

[q = int_s cdot ، ds ] این به راحتی ارزیابی می شود زیرا میدان سرعت Costant است ، دقیقاً طبیعی به دو چهره و دقیقاً موازی با دیگران است. برای صورت چپ ، (= -1 ) و

[ int_ cdot ، ds = 5 * (-4) = -20 ؛ text^3 ! !/ text ] برای صورت راست ، (= 1 ) و

[ int_ cdot ، ds = 5 * (+4) = +20 ؛ text^3 ! !/ text ] بنابراین کل انتگرال است

[q = int_s cdot ، ds = -20 + 20 = 0 ] که آسان بود. اما ارزیابی آسان تر خواهد بود

[q = int_v nabla cdot ، dv ] زیرا از آنجا که ( nabla cdot = 0 ) ، سپس انتگرال بیش از هر حجم از مقدار صفر ، صفر است. و این دقیقاً برابر با انتگرال سطح است که باید باشد.

مثال 2nd Divergence

در عوض ، یک میدان سرعت پیچیده تر از (= 5x + 10xz - 2z ) جریان خالص حجمی ، (q ) ، از همان جعبه هنوز توسط

[q = int_s cdot ، ds ] در حالی که این مسئله هنوز هم برای حل این امکان پذیر است ، در واقع استفاده از قضیه واگرایی بسیار ساده تر است و در عوض واگرایی میدان سرعت را بر روی حجم ارزیابی می کند.

[q ؛ ؛= ؛ ؛ int_v nabla cdot ، dv ؛ ؛= ؛ ؛3 * 8 ؛ ؛= ؛ ؛24 ] و این بدان معنی است که انتگرال سطح بالا نیز باید برابر باشد 24. اگر این یک مشکل جرم بود ، پس از جریان خالص مواد باید به این معنی باشد که چیزی بسیار کنجکاو برای چگالی اتفاق می افتد!

اشکال جایگزین

چندین تغییر در قضیه واگرایی وجود دارد. به عنوان مثال ، یک فرم جایگزین از نزدیک مرتبط است

[ int_v nabla f () ، dv = int_s f () ، ds ] جایی که (f () ) یک عملکرد مقیاس از بردار () است. این معادله در واقع سه نمونه جداگانه و مستقل است زیرا یک بردار است. این وقتی به صورت تانسور نوشته می شود ، واضح تر دیده می شود.

[ int_v f ، _i ، dv = int_s f ؛n_i ، ds ] نوشتن هر معادله صریح

[ در تلویزیون<partial f() over partial x> ، dv = int_s f () n_x ، ds qquad qquad int_v<partial f() over partial y> ، dv = int_s f () n_y ، ds qquad qquad int_v<partial f() over partial z> ، dv = int_s f () n_z ، ds ] هر معادله جداگانه است و می تواند به طور مستقل ، در انزوا از دیگران استفاده شود. در حقیقت ، معادله اول در مشتق J-integral بوجود می آید. در این حالت ، (f () ) در واقع چگالی انرژی کرنش ، (w () ) ، در مجاورت نوک ترک است. سرانجام ، توجه داشته باشید که هر معادله از نزدیک به پرونده 1 بعدی که در بالا مورد بحث قرار گرفت ، نزدیک است. با این وجود ، این یک تغییر کمی متفاوت است زیرا در این حالت ، حجم یک شی 3 بعدی است ، نه 1-D.

یک شکل جایگزین دوم شامل استفاده از قضیه واگرایی در تانسور درجه 2 ، مانند تنش استرس ، ( boldsymbol ) است.

[ int_v nabla cdot boldsymbol ، dv = int_s boldsymbol cdot ، ds ] این هویت اغلب بوجود می آید زیرا استرس-زمان در منطقه نیرو است. می توان آن را در نماد تنشور نوشت

[ int_v sigma_ ، dv = int_s sigma_ ، n_j ، ds ]

خلاصه

توجه داشته باشید که چگونه سه شکل مورد بحث در بالا به نظر می رسد وقتی در نماد تانسور نوشته شده است.

[ int_v f ، _i ، dv = int_s f ؛n_i ، ds ] [ int_v f_ ، dv = int_s f_i n_i ، ds ] [ int_v sigma_ ، dv = int_s sigma_ ، n_j ، ds ] عوارض نوشته شده است. برای یک تابع مقیاس ، (f ) ، و سپس یک عملکرد بردار ، (f_i ) و در آخر یک تابع تانسور ، ( sigma_ ). در هر حالت ، " (، I )" در انتگرال حجم در انتگرال سطح (به جز این در مثال آخر (j ) است) می شود. نماد تانسور اشکال مختلف قضیه واگرایی را بسیار آسان می کند.< SPAN> یک شکل جایگزین دوم شامل استفاده از قضیه واگرایی در تانسرهای درجه 2 ، مانند تنش استرس ، ( boldsymbol ) است.