چگونه می توان راه حل های بسته را برای مشکلات مارتینگل متوقف کرد؟

فکر می کنم این نقطه ی اصلی من در کالج بود. من محاسبات مهندسی و آمار ریاضی را گرفته بودم، اما احساس می کردم که من را به طرز فکر درستی برای استوک مجهز نمی کند. فرآیندها

آیا کسی می تواند در مورد سه نکته بالا من نظر دهد (آیا آنها به طور کلی درست هستند؟) و/یا استراتژی هایی را برای کار با مارتینگل برای به دست آوردن نتایج ملموس ارائه دهد (یعنی محاسبه اعداد واقعی؟)

• نظریه احتمال
• فرآیندهای تصادفی
• مارتینگل ها
• زمان های توقف

استناد کنید دنبال کردن پرسیده شد 25 اوت 2014 در 17:05 user76844 user76844 $endgroup$

1 پاسخ 1

مرتب شده بر اساس: بازنشانی به پیش فرض $x08eginggroup$

اجازه دهید قبل از پرداختن به 1 به سؤالات 2) و 3) پاسخ دهم.

برای سوال دوم: Martingales ابزارهایی هستند که می توانیم از آنها برای کاهش محاسبات پیچیده (مثلاً محاسبات احتمالات شرطی) استفاده کنیم تا نتایج زیادی را در مورد Martingales که به عنوان مثال در دوره های فرآیند Stochastic آموخته اید جذاب کنیم. در دنیای تحقیق، احتمال گرایان سعی می کنند یک مسئله را به زبان برخی از فرآیندهای تصادفی درک کنند، و اگر مارتینگلی در این فرآیند پنهان باشد، آنگاه مسئله را بسیار ساده می کند. دو قضیه پرکاربرد در مورد مارتینگل ها عبارتند از: قضیه همگرایی مارتینگل و قضیه توقف اختیاری. به جای پرتاب غوغاهای انتزاعی بیشتر، اجازه دهید یک مثال عینی برای شما بیاورم.

در زیر یک نسخه ساده از به اصطلاح "مشکل u" است. من این مشکل را به شما می گویم ، زیرا از طریق این مشکل ، اولین طعم و مزه آنچه را که احتمال تحقیق در مورد همه چیز وجود دارد ، دریافت کردم و یاد گرفتم که چگونه Martingales می تواند مفید باشد! بگذارید فرض کنیم شما یک سطل با دو توپ رنگی دارید: سیاه و سفید. بگذارید فقط با 1 دلار سیاه و 1 دلار سفید فقط به خاطر بتن ریزی شروع کنیم. اکنون این قانون این است: ما به طور تصادفی یک توپ را می کشیم ، هر بار که یک توپ را انتخاب می کنیم ، باید یک توپ اضافی با همان رنگ قرار دهیم. به عنوان مثال ، اگر یک توپ سفید را انتخاب کنیم ، باید توپ سفید انتخاب شده را به همراه یک توپ سفید اضافی برگردانیم. اکنون می توانیم بپرسیم ، آیا کسری از توپ های سفید تقریباً مطمئناً همگرا می شود؟به راحتی می توان فهمید که پس از قرعه کشی N $ ، توپ های N+2 $ در سطل وجود دارد. حال وقتی سعی می کنیم چیزی را همگرا ثابت کنیم ، سعی می کنیم یک مارتینگال را پیدا کنیم تا بتوانیم از قضیه همگرایی Martingale استفاده کنیم. اما بسیار مشخص نیست ، مارتینگال در اینجا چیست. بنابراین اجازه می دهیم پشت محاسبات پاکت را انجام دهیم. بگذارید $ w_n ، b_n $ به ترتیب پس از قرعه کشی $ n $ ، تعداد توپ های سیاه و سفید به ترتیب باشد. واضح است ، $ $ e (w_ | w_n ، b_n) = (w_n+1) frac+w_n (1- frac) = w_n (1+ frac) $ $

بنابراین $ w_n $ معلوم نیست که مارتینگال است (ما به هر حال کسری از سفیدپوستان را می خواهیم). اما یک پروبلیست آموزش دیده بلافاصله می بیند که حتی اگر $ w_n $ یک مارتینگال نیست ، $ $ w_n '= frac<prod_^(1+1/j)>$ $ است. این به سادگی یک محاسبه پشتی است که سعی در برابر کردن هر دو طرف محاسبه بالا دارد ، می توانید خودتان آن را امتحان کنید! اکنون تمام آنچه باقی مانده است یافتن مجانبی $ a_n: = prod_^n (1+1 /i) $ و محاسبات کمی بیشتر (که من در اینجا انجام نخواهم داد!) نشان می دهد که $ a_n /n به 1$اکنون با استفاده از قضیه همگرایی Martingale ، و او مشاهده قبلی ، می توانیم نشان دهیم: $ $ frac = frac frac to w $ $ برای برخی از متغیرهای تصادفی $ w $. تعیین اینکه $ w $ چیست ، یک سؤال جداگانه است و نظریه مارتینگاله فقط می تواند خیلی به ما بگوید.

به هر حال ، نکته مثال فوق این است که یک وضعیت معمولی را به شما نشان دهد که در آن مارتینگالز می تواند مفید باشد. برای زیر یا فوق العاده مارتینگال ها ، گاهی اوقات تجزیه به خصوص در حساب تصادفی مفید است ، اما در بیشتر موارد من با بخش $ $ روبرو شده ام که درک آن دشوار است ، اما هنوز هم قضیه همگرایی در شرایط مناسب وجود دارد! بعضی اوقات مارتینگال های عقب نیز مفید هستند.

برای سؤال 1) ، بستگی به آنچه شما قابل حل می نامید بستگی دارد. در جامعه ریاضیات ، شبیه سازی های رایانه ای که چیزی را نشان می دهد چیزی نیست که به عنوان "اثبات" در نظر گرفته شود. بسیاری از سؤالات باز وجود دارد ، که توسط یک رایانه نشان داده شده است که بدون هیچ سایه شک و تردید صادق است ، اما هنوز هم توسط جامعه ریاضیات حل نشده است. فرضیه ریمان نمونه بارز این است. با این حال ، در واقع چیزی به نام "" مدل های دقیقاً قابل حل "وجود دارد ، که در آن می توان پاسخ دقیقی به برخی از سؤالات (مانند تعداد زیادی تنظیمات در چنین دامنه و چنین محدودیت هایی و غیره) پیدا کرد ، با این حال چنین مدل هایی اندک هستند ودور بینبیشتر ، ما خوشحالیم که تقریباً یک مدل را به طور دقیق تقریبی می کنیم و مانند مثال فوق نتایج همگرایی را نشان می دهیم. به جای یافتن فرمولی برای توزیع دقیق $ W_N $ ، احتمالاً احتمالاً به بدون علامت علاقه مند هستند و تکنیک های Martingale فقط یکی از راه های زیادی برای مقابله با این موضوع هستند.

امیدوارم که همه اینها معقول باشد و من به نوعی می توانم به سوال شما پاسخ دهم که احتمالاً می توانیم روزها را برای بحث و گفتگو بگذرانیم!:)