9. نوسان ساز هارمونیک ساده

نوسان ساز هارمونیک ساده ، یک ذره غیر طبیعی در یک بالقوه 1 2 K x 2 ، یک مدل عالی برای طیف گسترده ای از سیستم ها در طبیعت است. در حقیقت ، چندی پس از کشف پلانک مبنی بر اینکه طیف تابش بدن سیاه می تواند با فرض انرژی مبادله در Quanta توضیح داده شود ، انیشتین همان اصل را در نوسان ساز هارمونیک ساده به کار برد ، از این طریق یک معمای دیرینه در فیزیک حالت جامد-حل می کند-افت مرموز در گرمای خاص همه مواد جامد در دماهای پایین. ترمودینامیک کلاسیک ، یک تئوری بسیار موفق از بسیاری جهات ، چنین قطره ای را پیش بینی کرده است - با تجهیزات استاندارد انرژی ، K T در هر حالت (پتانسیل به علاوه جنبشی) ، گرمای خاص باید کم و بیش ثابت بماند زیرا درجه حرارت پایین می آید (فرض می شودبدون تغییر فاز).

برای توضیح رفتار درجه حرارت پایین غیر عادی ، انیشتین فرض کرد که هر اتم یک نوسان ساز هارمونیک ساده مستقل (کوانتومی) است ، و دقیقاً در مورد تابش بدن سیاه ، وی فرض کرد که نوسان سازها فقط می توانند انرژی را در کوانتا جذب یا ساطع کنند. در نتیجه ، در دماهای کم به اندازه کافی انرژی کافی در تحریکات حرارتی محیط برای تحریک نوسان سازها وجود دارد و آنها را یخ می زنند ، دقیقاً همانطور که نوسان سازهای آبی در تابش بدن سیاه با دمای پایین انجام می دهند. تصویر انیشتین بعداً تا حدودی تصفیه شده بود - مجموعه اصلی نوسان سازها برای ایستادن نوسانات موج صدا در حالت جامد به جای اتم های فردی (ساخت تصویر حتی بیشتر شبیه تابش بدن سیاه در یک حفره) گرفته شد ، اما نتیجه گیری اصلی - افت درگرمای خاص در دماهای پایین - تحت تأثیر قرار نگرفت.

نوسان ساز هارمونیک ساده کلاسیک

معادله کلاسیک حرکت برای یک نوسان ساز هارمونیک ساده یک بعدی با ذره ای از جرم M متصل به یک چشمه با داشتن بهار ثابت K است

M D 2 X D T 2 = - K x.

راه حل است

x = x 0 sin (ω t + δ) ، ω = k m ،

و حرکت P = M V وابستگی زمان دارد

p = m x 0 Ω cos (ω t + δ).

انرژی کل

(1 /2 متر) (P 2 + M 2 Ω 2 x 2) = E

به وضوح در زمان ثابت است.

غالباً برای تصویربرداری از زمان توسعه یک سیستم در فضای فاز مفید است ، در این حالت یک نقشه دو بعدی با موقعیت در x-axis ، حرکت در y-axis. در واقع ، برای داشتن مختصات (x ، y) با همان ابعاد ، ما از (m ω x ، p) استفاده می کنیم.

از بیان فوق برای کل انرژی مشهود است که در این متغیرها نقطه ای که نشان دهنده سیستم در فاز فاز است ، در جهت عقربه های ساعت در حدود یک دایره شعاع 2 متر E با محوریت مبدا حرکت می کند.

توجه داشته باشید که در مشکل کلاسیک می توانیم هر نقطه (M Ω x ، p) را انتخاب کنیم ، سیستم را در آنجا قرار دهیم و سپس در یک دایره در مورد منشاء حرکت می کند. در مشکل کوانتومی ، از طرف دیگر ، ما نمی توانیم مختصات اولیه (M ω x ، p) را دقیقاً به دلیل اصل نامشخص مشخص کنیم. بهترین کاری که می توانیم انجام دهیم این است که سیستم را در ابتدا در یک سلول کوچک در فضای فاز ، از اندازه Δ x ⋅ δ p = ℏ / 2 قرار دهیم. در حقیقت ، ما می یابیم که در مکانیک کوانتومی فضای فاز همیشه برای هر جفت متغیرها به سلولهای اساساً این اندازه تقسیم می شود.

معادله شرودینگر و عملکرد موج حالت زمین

از بیان کلاسیک برای کل انرژی ارائه شده در بالا ، معادله Schrödinger برای نوسان ساز کوانتومی به روش استاندارد دنبال می شود:

- ℏ 2 2 M D 2 ψ (x) d x 2 + 1 2 m ω 2 x 2 ψ (x) = e ψ (x).

راه حل های این معادله Schrödinger چگونه خواهد بود؟از آنجا که پتانسیل 1 2 M Ω 2 x 2 بدون محدودیت در دور شدن از x = 0 افزایش می یابد ، نتیجه می گیرد که مهم نیست که انرژی جنبشی ذرات چقدر باشد ، برای X به اندازه کافی بزرگ انرژی بالقوه حاکم است ، و عملکرد موج (حالت محدود)با افزایش سرعت برای افزایش بیشتر در x ، پوسیدگی می کند.(بدیهی است ، برای یک نوسان ساز فیزیکی واقعی محدودیتی در ارتفاع پتانسیل وجود دارد - فرض خواهیم کرد که حد بسیار بیشتر از انرژی مورد علاقه ما در مشکل ما است.)

ما می دانیم که وقتی یک ذره به سدی از ارتفاع ثابت v 0 (بیشتر از انرژی جنبشی ذرات) نفوذ می کند ، عملکرد موج به صورت نمایی در سد کاهش می یابد ، به عنوان E - α x ، جایی که α = 2 متر (V 0 - E) / ℏ ℏ2اما ، بر خلاف این سد ارتفاع ثابت ، "ارتفاع" پتانسیل نوسان ساز هارمونیک ساده همچنان افزایش می یابد زیرا ذرات به X بزرگتر می شوند. بدیهی است ، در این شرایط پوسیدگی سریعتر از نمایی خواهد بود. اگر ما (نسبتاً ساده لوحانه) فرض کنیم که کم و بیش از نظر محلی نمایی است ، اما با یک α محلی متفاوت با V 0 ، غفلت از E نسبت به V 0 در بیان برای α نشان می دهد که خود α متناسب با x است (از آنجا که پتانسیل متناسب استبه x 2 ، و α ∝ v) بنابراین ممکن است عملکرد موج به عنوان e - (ثابت) x 2 پوسیده شود؟

برای بررسی این ایده ، ما ψ (x) = e - x 2 /2 b 2 را در معادله Schrödinger قرار می دهیم ، با استفاده از

D 2 ψ d x 2 = - 1 b 2 ψ + x 2 b 4 ψ

− ℏ 2 2 m ( − 1 b 2 + x 2 b 4 ) ψ ( x ) + 1 2 m ω 2 x 2 ψ ( x ) = E ψ ( x ) .

ψ ( x ) در اینجا فقط یک عامل است و هرگز صفر نمی شود، بنابراین می توان آن را لغو کرد. این یک عبارت درجه دوم به جا می گذارد که باید دارای ضرایب یکسان x 0، x 2 در دو طرف باشد، یعنی ضریب x 2 در سمت چپ باید صفر باشد:

ℏ 2 2 m b 4 = m ω 2 2 , بنابراین b = ℏ m ω .

این تابع موج را برطرف می کند. معادل سازی شرایط ثابت انرژی را ثابت می کند:

E = ℏ 2 2 m b 2 = 1 2 ℏ ω .

بنابراین شکل حدسی برای تابع موج در واقع راه حل دقیق برای پایین ترین حالت انرژی است!(این پایین ترین حالت است زیرا گره ندارد.)

همچنین توجه داشته باشید که حتی در این حالت پایه نیز انرژی غیر صفر است، همانطور که برای چاه مربع بود. بخش مرکزی تابع موج باید مقداری انحنا داشته باشد تا تابع موج نزولی در سمت چپ را به سمت راست متصل کند. این "انرژی نقطه صفر" در یک مورد فیزیکی برای ذوب شبکه کافی است - هلیوم حتی تا دمای صفر مطلق نیز مایع است (تا میکروکلوین ها بررسی می شود!) زیرا انتشار تابع موج، شبکه جامدی را که با فشار خارجی کافی تشکیل می شود، بی ثبات می کند.

کشورهای با انرژی بالاتر

از بحث بالا در مورد حالت پایه مشخص است که b = ℏ m ω واحد طبیعی طول در این مسئله و ℏ ω انرژی است، بنابراین برای بررسی حالات انرژی بالاتر، متغیرهای بدون بعد را دوباره فرمول بندی می کنیم.

ξ = x b = x m ω ℏ , ε = E ℏ ω .

معادله شرودینگر می شود

d 2 ψ ( ξ ) d ξ 2 = ( ξ 2 − 2 ε ) ψ ( ξ ) .

در عمق مانع، عبارت ε ناچیز خواهد شد، و درست مانند تابع موج حالت پایه، توابع موج حالت محدود بالاتر رفتار − ξ 2/2 دارند، ضربدر یک عامل آهسته تر متغیر (معلوم می شود که چنین است. یک چند جمله ای).

تمرین: سهم نسبی مشتق دوم را از دو عبارت در x n e - x 2 / 2 بیابید. برای n داده شده، چه زمانی مشارکت های مربوط به عبارت اول کوچک می شوند؟"کوچک" را تعریف کنید.

رویکرد استاندارد برای حل مسئله کلی این است که عبارت e - ξ 2 / 2 را فاکتور بگیرید.

ψ ( ξ ) = h ( ξ ) e − ξ 2 / 2

دادن یک معادله دیفرانسیل برای h (ξ):

d 2 h d ξ 2 − 2 ξ d h d ξ + ( 2 ε − 1 ) h = 0

ما سعی می کنیم این را با یک سری توان در ξ حل کنیم:

h ( ξ ) = h 0 + h 1 ξ + h 2 ξ 2 = ..

درج این در معادله دیفرانسیل، و نیاز به ناپدید شدن ضریب هر توان ξn به طور یکسان، منجر به یک فرمول بازگشتی برای ضرایب h n می شود:

h n + 2 = ( 2 n + 1 − 2 ε ) ( n + 1 ) ( n + 2 ) h n .

بدیهی است ، سری قدرتهای عجیب و غریب و حتی قدرتها راه حل های مستقل برای معادله شرودینگر هستند.(در واقع این تعجب آور نیست: پتانسیل حتی در X است ، بنابراین اپراتور برابری P با همیلتون رفت و آمد می کند. بنابراین ، مگررابطه عود ساده است

H N + 2 ≈ 2 N H N ، N ≫ ε.

بنابراین این سریال تمایل دارد

∑ 2 n ξ 2 n (2 n - 2) (2 n - 4). 2 = 2 ξ 2 ∑ ξ 2 (n - 1) (n - 1)!= E ξ 2.

این مورد را با ضریب E - ξ 2 /2 ضرب کنید تا عملکرد کامل موج را بازیابی کنید ، ما می یابیم که ψ برای ξ بزرگ به عنوان e + ξ 2 /2 واگرایی می کنیم.

در واقع ما باید انتظار داشته باشیم این - برای یک مقدار کلی انرژی ، معادله Schrödinger دارای محلول است - A E + ξ 2 /2 + B E - ξ 2 /2 در مسافت های بزرگ ، و فقط در انرژی های خاصی ضریب A را انجام می دهدناپدید می شود تا یک عملکرد موج حالت عادی را فراهم کند.

بنابراین چگونه می توانیم راه حل های غیرمجاز را پیدا کنیم؟واضح است که سری قدرت بی نهایت باید متوقف شود! کلید در رابطه عود است.

اگر انرژی راضی شود

2 ε = 2 n + 1 ، n یک عدد صحیح ،

سپس H N + 2 و تمام ضرایب بالاتر از بین می روند.

این نیاز در واقع چند جمله ای (به جز ثابت کلی) را به طور کامل تعیین می کند زیرا با 2 ε = 2 n + 1 ضرایب H m برای m

H m + 2 = (2 m + 1 - 2 ε) (m + 1) (m + 2) h m = (2 m + 1 - (2 n + 1)) (m + 1) (m + 2) h m.

این چند جمله ای مرتبه n نامیده می شود یک چند جمله ای هرمیت و نوشته شده H n (ξ). عادی سازی استاندارد از چند جملهای Hermite H N (ξ) این است که ضریب بالاترین قدرت ξ n را به 2 n برساند. ضرایب دیگر سپس با استفاده از رابطه عود در بالا ، ارائه می دهند:

H 0 (ξ) = 1 ، H 1 (ξ) = 2 ξ ، H 2 (ξ) = 4 ξ 2 - 2 ، H 3 (ξ) = 8 ξ 3 - 12 ξ و غیره.

بنابراین نکته آخر این است که عملکرد موج برای حالت هیجان زده N ، داشتن انرژی ε = n + 1 2 ، ψ n (ξ) = c n h n (ξ) e - ξ 2 /2 است ، جایی که c n a استعادی سازی ثابت در بخش بعدی تعیین می شود.

می توان نشان داد (به تمرینات در انتهای این سخنرانی مراجعه کنید) که h n ′ (ξ) = 2 n h n - 1 (ξ). با استفاده از این ، با شروع زمین ، می توان به راحتی خود را متقاعد کرد که انرژی پی در پی است که هر یک از آنها یک گره دیگر دارند - حالت N دارای گره های N است. این همچنین از محلول عددی با استفاده از صفحه گسترده مشهود است ، و تماشای نحوه عملکرد موج در بزرگ X با افزایش انرژی.

صفحه گسترده همچنین می تواند برای ترسیم عملکرد موج برای n بزرگ ، مثلاً n = 200 استفاده شود. مقایسه توزیع احتمال با آن برای یک آونگ کلاسیک ، یک نوسان با دامنه ثابت و چندین بار در فواصل تصادفی مشاهده می شود. برای آونگ ، احتمال قله در انتهای نوسان ، جایی که آونگ کمترین است و بنابراین بیشتر وقت را صرف می کند. دامنه توزیع n = 200 از این الگوی پیروی می کند ، اما البته نوسان می کند. با این حال ، در محدودیت بزرگ N این نوسانات در فواصل غیر قابل کشف کوچک صورت می گیرد.

آونگ کلاسیک در هنگام استراحت به وضوح دارای توزیع احتمال وابسته به زمان است-آن را به عقب و جلو می چرخاند. این بدان معنی است که نمی تواند در یک بخش ویژه انرژی باشد. در حقیقت ، ایالت کوانتومی که بیشتر شبیه کلاسیک است ، یک کشور منسجم است که از Eigenstates Energy همسایه ساخته شده است. ما بعداً در این دوره درباره دولتهای منسجم بحث خواهیم کرد.

رویکرد اپراتور به نوسان ساز هارمونیک ساده

با مقیاس بندی موقعیت x به عنوان بدون بعد توسط ξ = x / b = x m ω / ℏ ، اجازه دهید ما همچنین حرکت را از p به π = - i d / d ξ (بنابراین π = b p / ℏ = p / ℏ m مقیاس کند. ω).

همیلتون است

H = P 2 + M 2 Ω 2 x 2 2 M = ℏ ω 2 (π 2 + ξ 2).

دیراک ایده درخشان برای فاکتورسازی این عبارت داشت: فکر آشکار (ξ 2 + π 2) = (ξ + i π) (ξ - i π) کاملاً درست نیست ، زیرا نتوانسته است در مورد عدم ارتباط بودن در نظر بگیرداپراتورها ، اما نسخه متقارن

H = ℏ ω 4 [(ξ + i π) (ξ - i π) + (ξ - i π) (ξ + i π)]

خوب است ، و به زودی خواهیم دید که این امر به یک روش بسیار آسان برای یافتن مقادیر ویژه و عناصر ماتریس اپراتور برای نوسان ساز منجر می شود ، بسیار ساده تر از استفاده از توابع موج که در بالا پیدا کردیم. جالب اینجاست که فاکتوریت دیراک در اینجا از یک اپراتور دیفرانسیل مرتبه دوم به محصول اپراتورهای مرتبه اول نزدیک به این ایده است که منجر به مشهورترین دستاورد وی ، معادله دیراک ، اساس تئوری نسبیتی الکترون ها ، پروتون ها و غیره شده است.

برای ادامه ، ما اپراتورهای جدید A را تعریف می کنیم.

a = ξ + i π 2 = 1 2 ℏ m ω (m ω x + i p) ، a † = ξ - i π 2 = 1 2 ℏ m ω (m ω x - i p).

(ما از نظر متغیرهای اصلی X ، P برای استفاده بعدی بیان کرده ایم.)

از رابطه رفت و آمد [i π ، ξ] = 1 نتیجه می گیرد

بنابراین همیلتون را می توان نوشت:

h = ℏ ω (a † a + 1 2) = ℏ ω (n + 1 2) ، جایی که n = a † a.

توجه داشته باشید که از آنجا که اپراتور N فقط می تواند دارای مقادیر ویژه ای غیر منفی باشد

〈ψ |n |ψ〉 = 〈ψ |A † A |ψ〉 = 〈ψ a |ψ A〉 ≥ 0.

[ N , a † ] = a † a † − a † a † a = a † [ a , a † ] = a †

فرض کنید N یک تابع ویژه دارد |ν 〉 با مقدار ویژه ν،

از دو معادله بالا

N a † |ν 〉 = a † N |ν 〉 + a † |ν 〉 = ( ν + 1 ) a † |ν 〉

بنابراین یک † |ν 〉 یک تابع ویژه از N با مقدار ویژه ν + 1 است. با یک † بارها و بارها عمل می کنیم، از یک نردبان بی نهایت حالت های ویژه با فاصله مساوی از نظر انرژی بالا می رویم.

a † اغلب یک عملگر ایجاد نامیده می شود، زیرا کوانتوم انرژی ℏ ω که در هر بار کار اضافه می شود، معادل یک فوتون اضافه شده در تابش جسم سیاه (نوسانات الکترومغناطیسی در یک حفره) است.

به راحتی می توان بررسی کرد که حالت a |ν 〉 یک حالت ویژه با مقدار ویژه ν − 1 است، به شرطی که غیر صفر باشد، بنابراین عملگر a ما را از نردبان پایین می برد. با این حال، این نمی تواند به طور نامحدود ادامه یابد - ما ثابت کرده ایم که N نمی تواند مقادیر ویژه منفی داشته باشد. بالاخره باید به یک حالت برسیم |ν 〉 که برای آن یک |ν 〉 = 0، عملگر a حالت را از بین می برد.(در هر مرحله به پایین، یک کوانتومی از انرژی را از بین می برد - بنابراین a اغلب یک عملگر نابودی یا تخریب نامیده می شود.)

Since the norm squared of a | ν 〉 , | a | ν 〉 | 2 = 〈 ν | a † a | ν 〉 = 〈 ν | N | ν 〉 = ν 〈 ν | ν 〉 , and since 〈 ν | ν 〉>0 برای هر حالت ناپایدار، باید این باشد که پایین ترین حالت ویژه (که | ν 〉 برای آندر نقطه روی، حالت های ویژه را با n به جای ν دوباره برچسب گذاری می کنیم.

یعنی ثابت کردیم که تنها مقادیر ویژه ممکن N صفر و اعداد صحیح مثبت هستند: 0، 1، 2، 3….

N عملگر عدد نامیده می شود: تعداد کوانتوم های انرژی موجود در نوسانگر را بالای انرژی حالت پایه غیرقابل تقلیل اندازه می گیرد (یعنی بالاتر از "انرژی نقطه صفر" ناشی از ماهیت موج مانند ذره).

از آنجایی که از بالا همیلتونی

H = ℏ ω ( a † a + 1 2 ) = ℏ ω ( N + 1 2 )

مقادیر ویژه انرژی هستند

H |n 〉 = ( n + 1 2 ) ℏ ω |n 〉

قدردانی از این نکته مهم است که ترفند فاکتورسازی دیراک و تلاش بسیار اندک، همه ارزش های ویژه همیلتونی را به ما داده است.

H = ℏ ω 2 ( π 2 + ξ 2 ) .

کار مورد نیاز در این بخش را با روش استاندارد شرودینگر مقایسه کنید. ما همچنین مشخص کرده ایم که کمترین حالت انرژی |0 〉 با داشتن انرژی 1 2 ℏ ω , باید معادله دیفرانسیل مرتبه اول a را برآورده کند |0 〉 = 0، یعنی

( ξ + i π ) | 0>= ( ξ + d d ξ ) ψ 0 ( ξ ) = 0.

راه حل، غیر عادی، این است

ψ 0 ( ξ ) = C e − ξ 2 / 2 .

(در واقع، ما قبلاً این معادله و حل آن را دیده بودیم: این شرط تابع موج "کمترین نامطمئن" در بحث اصل عدم قطعیت تعمیم یافته بود.)

ما مجموعه عادی Eigenstates را بیان می کنیم |0〉 ، |1〉 ، |2〉 ،… |n〉… با 〈n |n〉 = 1. اکنون A † |n〉 = c n |n + 1〉 ، و c_nبه راحتی یافت می شود:

|ج n |2 = |ج n |2 〈n + 1 |n + 1〉 = 〈n |A A † |n〉 = (n + 1) ،

A † |n〉 = n + 1 |n + 1〉.

بنابراین ، اگر مجموعه ای از حالت های متعامد را بگیریم |0〉 ، |1〉 ، |2〉 ،… |n〉 ... به عنوان مبنای فضای هیلبرت ، تنها عناصر ماتریس غیرزرو از A † 〈n + 1 |A † |n〉 = n + 1. که این است که بگوییم،

A † = (0 0 0 0… 1 0 0 0… 0 2 0 0… 0 0 3 0… ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱).

(بردارهای ستونی در فضایی که این ماتریس روی آن کار می کند تعداد بی نهایت عناصر را دارد: کمترین انرژی ، مؤلفه حالت زمین ، ورود در بالای بردار نامتناهی است - بالاترین نردبان انرژی پایین بردار است!)

a = (0 1 0 0… 0 0 2 0… 0 0 0 3… 0 0 0 0… ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱).

برای محاسبات عملی ، ما باید عناصر ماتریس موقعیت و متغیرهای حرکت را بین ویژه های عادی پیدا کنیم. اکنون

x = ℏ / 2 m Ω (a † + a) ، p = i m ω ℏ / 2 (a † - a)

x = ℏ / 2 m ω (0 1 0 0… 1 0 2 0… 0 2 0 3… 0 0 3 0… ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋱) ، p = i m ω ℏ / 2 (0 - 1 0 0… 10 - 2 0… 0 2 0 - 3… 0 0 3 0… ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱).

این ماتریس ها البته Hermitian هستند (فاکتور I را در صفحه فراموش نمی کنند)

برای پیدا کردن عناصر ماتریس بین مجموعه های ویژه هر محصول X و P ، همه X و P را از نظر A و A بیان کنید تا مبلغی از محصولات A را ارائه دهید. S و A †. هر محصول در این مبلغ می تواند به صورت متوالی از سمت راست ارزیابی شود ، زیرا هر یک یا A † فقط یک عنصر ماتریس غیرزرو را در هنگام کار بر روی یک Eigenstate دارد.

عادی سازی Eigenstates در فضای x

عملکرد موج حالت زمین عادی است

ψ 0 (ξ) = c e - ξ 2 /2 = (m ω π ℏ) 1 4 e - m ω x 2 /2 ℏ ،

جایی که ما به متغیر X برگشته ایم و با استفاده از ∫ - ∞ ∞ E - A x 2 D x = π / a نرمال می شویم.

برای یافتن توابع موج عادی برای حالتهای بالاتر ، آنها ابتدا با استفاده از اپراتور ایجاد A † به طور مکرر در حالت زمین به طور رسمی ساخته می شوند |0〉. در مرحله بعد ، نتیجه با نوشتن یک † به عنوان یک اپراتور دیفرانسیل ، به فضای x (در واقع ξ = x / b) ترجمه می شود و روی ψ 0 (ξ) عمل می کند.

با استفاده از 〈n |A † |n - 1〉 = n ،

|n〉 = a † n |n - 1〉 =… = (a †) n n!|0〉.

a † = (1/2) (ξ - i π) = (1/2) (ξ - d / d ξ) ،

ψ n (ξ) = (a †) n n!|0〉 = 1 N!(1 2 (ξ - d d ξ)) n (m ω π ℏ) 1 4 E - ξ 2 /2.

ما باید بررسی کنیم که این عبارت در واقع همان عملکرد موج چند جمله ای هرمیت است که قبلاً به دست آمده است ، و برای انجام این کار به برخی از خصوصیات دیگر چند جمله ای هرمیت نیاز داریم.

برخی از خصوصیات چند جملهای هرمیت

ریاضیدانان چند جملهای هرمیت را توسط:

h n (ξ) = ( -) n e ξ 2 d n d ξ n e - ξ 2

H 0 (ξ) = 1 ، H 1 (ξ) = 2 ξ ، H 2 (ξ) = 4 ξ 2 - 2 ، H 3 (ξ) = 8 ξ 3 - 12 ξ و غیره.

بلافاصله از این تعریف پیروی می کند که ضریب قدرت پیشرو 2 n است.

این یک تمرین ساده است که بررسی کند H N یک راه حل معادله دیفرانسیل است

(d 2 d ξ 2 - 2 ξ d d ξ + 2 n)

بنابراین اینها در واقع همان چند جمله ای هستند که ما با راه حل سری معادله Schrödinger قبلاً پیدا کردیم (به یاد بیاورید معادله برای مؤلفه چند جمله ای عملکرد موج

d 2 h d ξ 2 − 2 ξ d h d ξ + ( 2 ε − 1 ) h = 0

با 2 ε = 2 n + 1.)

ما ψ n (ξ) را در فرم پیدا کرده ایم

ψ n (ξ) = 1 n!(1 2 (ξ - d d ξ)) n (m ω π ℏ) 1 4 E - ξ 2 /2.

اکنون ما ثابت خواهیم کرد که مؤلفه چند جمله ای دقیقاً معادل چند جمله ای هرمیت است که در ابتدای این بخش تعریف شده است.

ما با هویت اپراتور شروع می کنیم:

.

هر دو طرف این عبارت به عنوان اپراتور در نظر گرفته می شوند ، یعنی فرض بر این است که هر دو بر روی برخی از عملکردهای F (ξ) کار می کنند.

اکنون قدرت هر دو طرف را بگیرید: در سمت راست ، مثلاً می یابیم

( - E ξ 2 /2 D D D ξ E - ξ 2 /2) 3 = ( -) 3 E ξ 2 /2 D D D ξ E - ξ 2 /2 E ξ 2 /2 D D ξ E - − ξ 2 /2 E ξ2 /2 D D ξ E - ξ 2 /2 = ( -)

از آنجا که شرایط نمایی میانی در برابر یکدیگر لغو می شود.

(ξ - d d ξ) n = ( -) n e ξ 2 /2 d n d ξ n e - ξ 2 /2

و این را جایگزین عبارت برای ψ n (ξ) در بالا ،

ψ n (ξ) = 1 2 n n!( -) n (e ξ 2 /2 d n d ξ n e - ξ 2 /2) (m ω π ℏ) 1 /4 e - ξ 2 /2 = 1 2 n!( -) n (m ω π ℏ) 1 /4 e - ξ 2 /2 (e ξ 2 d n d ξ n e - − 2) = 1 2 n n!(m ω π ℏ) 1 /4 h n (ξ) e - ξ 2 /2 ، با ξ = m ω ℏ x.

این امر معادل دو رویکرد به معادله شرودینگر برای نوسان ساز هارمونیک ساده را ایجاد کرد و ثابت های عادی سازی کلی را بدون انجام انتگرال ها در اختیار ما قرار می دهد..

برای اثبات: از h n (ξ) = ( -) n e ξ 2 d n d ξ n e - ξ 2 برای اثبات:

(الف) ضریب ξ n 2 n است.

(B) H N ′ (ξ) = 2 N H N - 1 (ξ)

(c) H n + 1 ( ξ ) = 2 ξ H n ( ξ ) − 2 n H n − 1 ( ξ )

(د) ∫ − ∞ ∞ e − ξ 2 H n 2 ( ξ ) d ξ = 2 n n ! π

(نکته: بازنویسی به صورت ∫ − ∞ ∞ H n ( ξ ) ( − ) n d n d ξ n e − ξ 2 d ξ , سپس با قسمت های n بار ادغام کنید و از (a) استفاده کنید.)

(e) ∫ − ∞ ∞ e − ξ 2 H n ( ξ ) H m ( ξ ) d ξ = 0 , برای m ≠ n .

انجام این تمرین ها برای آشنایی بیشتر با چند جمله ای های هرمیت ارزش دارد، اما در ارزیابی عناصر ماتریس (و در واقع در ایجاد برخی از این نتایج) تقریباً همیشه کار با عملگرهای ایجاد و نابودی بسیار ساده تر است.

تمرین: از عملگرهای ایجاد و نابودی برای یافتن 〈 n | استفاده کنیدx 4 |n 〉این عنصر ماتریس در تخمین تغییر انرژی ناشی از افزودن یک عبارت انرژی پتانسیل ناهارمونیک کوچک به یک نوسان ساز هارمونیک مفید است.

توابع موج وابسته به زمان

مجموعه ای از حالت های ویژه نرمال شده |0 〉 , |1 〉 , |2 〉 , … |n 〉 … که در بالا مورد بحث قرار گرفت البته راه حل هایی برای معادله شرودینگر مستقل از زمان، یا حالت های ویژه نمادگذاری کت H همیلتونی هستند |n 〉 = ( n + 1 2 ) ℏ ω |n 〉قرار دادن وابستگی زمانی به صراحت، |n , t 〉 = e − i H t / ℏ |n , t = 0 〉 = e − i ( n + 1 2 ) ω t |n 〉لازم است در هنگام برخورد با حالتی که برهم نهی حالت های انرژی های مختلف است، وابستگی زمانی نیز لحاظ شود، مانند (1/2) (| 0 〉 + | 1 〉) که سپس تبدیل به (1/2) (e) می شود.− i ω t / 2 | 0 〉 + e − 3 i ω t / 2 | 1 〉). مقادیر انتظاری ترکیبی از عملگرهای موقعیت و/یا تکانه در چنین حالت هایی با بیان همه چیز بر حسب عملگرهای نابودی و ایجاد به بهترین وجه ارزیابی می شوند.

حل معادله شرودینگر در فضای تکانه

در سخنرانی در مورد فضاهای عملکرد ، ما ثابت کردیم که اساس |X〉 حالت (Eigenstates از اپراتور موقعیت) و آن از |ایالت های K〉 (Eigenstates از اپراتور حرکت) هر دو پایه کامل در فضای هیلبرت (تعریف فیزیکدان) بودند ، بنابراین ما می توانیم از یک دیدگاه رسمی به همان اندازه خوب کار کنیم. پس چرا تقریباً همیشه در فضای x کار می کنیم؟خوب ، احتمالاً به این دلیل که ما در فضای X زندگی می کنیم ، اما دلیل دیگری وجود دارد. اپراتور حرکت در نمایندگی x-space p = -i ℏ d / d x است ، بنابراین معادله شرودینگر ، نوشته شده (p 2/2 m + v (x)) ψ (x) = e ψ (x) ، با p درفرم اپراتور ، یک معادله دیفرانسیل مرتبه دوم است. حال در نظر بگیرید که اگر در P-Space کار کنیم ، چه اتفاقی برای معادله Schrödinger می افتد. از آنجا که هویت اپراتور [X ، P] = I ℏ بدون در نظر گرفتن نمایندگی صحیح است ، ما باید X = I ℏ D / D P را داشته باشیم. بنابراین برای یک ذره در یک V (X) بالقوه ، نوشتن معادله شرودینگر در P-Space ، ما با اپراتور Nasty به دنبال V (I ℏ D / D P) روبرو هستیم! این یک معادله دیفرانسیل به طور کلی بسیار سخت تر از معادله استاندارد x-space ایجاد می کن د-بنابراین ما در فضای x می مانیم.

اما دو پتانسیل وجود دارد که می تواند در فضای حرکت انجام شود: اول ، برای یک پتانسیل خطی v (x) =-f x ، تجزیه و تحلیل فضای حرکت در واقع آسان تر است-این فقط یک معادله مرتبه اول است. دوم ، برای یک ذره در یک پتانسیل درجه دوم - یک نوسان ساز هارمونیک ساده - این دو رویکرد همان معادله دیفرانسیل را ارائه می دهند. این بدان معناست که عملکردهای ویژه در فضای حرکت (به طور مناسب مقیاس) باید با مواردی که در فضای موقعیت قرار دارند یکسان باشد - عملکردهای ساده هارمونیک ساده تبدیل های فوریه خودشان هستند!